Theorem infpnlem2 12286

Description: Lemma for infpn 12287. For any positive integer 𝑁, there exists a prime number 𝑗 greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	⊢ 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑁   𝑗,𝐾,𝑘

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
2		nnnn0 9117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 10645	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 8868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
5	1, 4	eqeltrid 2252	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	3	nnge1d 8896	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (!‘𝑁))
7		1nn 8864	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		nnleltp1 9246	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
9	7, 3, 8	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
10	6, 9	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((!‘𝑁) + 1))
11	10, 1	breqtrrdi 4023	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 𝐾)
12		nncn 8861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
13		nnap0 8882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 # 0)
14	12, 13	jca 304	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 # 0))
15		dividap 8593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 # 0) → (𝐾 / 𝐾) = 1)
16	5, 14, 15	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) = 1)
17	16, 7	eqeltrdi 2256	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)
18		breq2 3985	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝐾))
19		oveq2 5849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝐾))
20	19	eleq1d 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ))
21	18, 20	anbi12d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)))
22	21	rspcev 2829	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 1226	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
24		1zzd 9214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
25		nnz 9206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
26	25	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
27		zdclt 9264	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → DECID 1 < 𝑗)
28	24, 26, 27	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID 1 < 𝑗)
29		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
30	5	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
31	30	nnzd 9308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
32		dvdsdc 11734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∥ 𝐾)
33	29, 31, 32	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID 𝑗 ∥ 𝐾)
34		nndivdvds 11732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
35	34	dcbid 828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (DECID 𝑗 ∥ 𝐾 ↔ DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
36	5, 35	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (DECID 𝑗 ∥ 𝐾 ↔ DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
37	33, 36	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)
38		dcan2 924	. . . . 5 ⊢ (DECID 1 < 𝑗 → (DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ → DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)))
39	28, 37, 38	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
40	39	ralrimiva 2538	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
41		breq2 3985	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝑘))
42		oveq2 5849	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝑘))
43	42	eleq1d 2234	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ))
44	41, 43	anbi12d 465	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ)))
45	44	nnwosdc 11968	. . 3 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)))
46	23, 40, 45	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)))
47	1	infpnlem1 12285	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)) → (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
48	47	reximdva 2567	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
49	46, 48	mpd 13	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2443  ∃wrex 2444   class class class wbr 3981  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  ℂcc 7747  0cc0 7749  1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   ≤ cle 7930   # cap 8475   / cdiv 8564  ℕcn 8853  ℤcz 9187  !cfa 10634   ∥ cdvds 11723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-fac 10635  df-dvds 11724

This theorem is referenced by:  infpn  12287