ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infpnlem2 GIF version

Theorem infpnlem2 12357
Description: Lemma for infpn 12358. For any positive integer 𝑁, there exists a prime number 𝑗 greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
Assertion
Ref Expression
infpnlem2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑁   𝑗,𝐾,𝑘

Proof of Theorem infpnlem2
StepHypRef Expression
1 infpnlem.1 . . . . 5 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
2 nnnn0 9182 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32faccld 10715 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
43peano2nnd 8933 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
51, 4eqeltrid 2264 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
63nnge1d 8961 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (!‘𝑁))
7 1nn 8929 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
8 nnleltp1 9311 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
97, 3, 8sylancr 414 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
106, 9mpbid 147 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((!‘𝑁) + 1))
1110, 1breqtrrdi 4045 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 𝐾)
12 nncn 8926 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
13 nnap0 8947 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 # 0)
1412, 13jca 306 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 # 0))
15 dividap 8657 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 # 0) → (𝐾 / 𝐾) = 1)
165, 14, 153syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) = 1)
1716, 7eqeltrdi 2268 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)
18 breq2 4007 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐾 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝐾))
19 oveq2 5882 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝐾))
2019eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐾 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ))
2118, 20anbi12d 473 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)))
2221rspcev 2841 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
235, 11, 17, 22syl12anc 1236 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
24 1zzd 9279 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
25 nnz 9271 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
2625adantl 277 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
27 zdclt 9329 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → DECID 1 < 𝑗)
2824, 26, 27syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID 1 < 𝑗)
29 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
305adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
3130nnzd 9373 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
32 dvdsdc 11804 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑗𝐾)
3329, 31, 32syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID 𝑗𝐾)
34 nndivdvds 11802 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
3534dcbid 838 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (DECID 𝑗𝐾DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
365, 35sylan 283 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (DECID 𝑗𝐾DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
3733, 36mpbid 147 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)
38 dcan2 934 . . . . 5 (DECID 1 < 𝑗 → (DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ → DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)))
3928, 37, 38sylc 62 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
4039ralrimiva 2550 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
41 breq2 4007 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝑘))
42 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝑘))
4342eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ))
4441, 43anbi12d 473 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ)))
4544nnwosdc 12039 . . 3 ((∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗𝑘)))
4623, 40, 45syl2anc 411 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗𝑘)))
471infpnlem1 12356 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗𝑘)) → (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
4847reximdva 2579 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
4946, 48mpd 13 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991  cle 7992   # cap 8537   / cdiv 8628  cn 8918  cz 9252  !cfa 10704  cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-fac 10705  df-dvds 11794
This theorem is referenced by:  infpn  12358
  Copyright terms: Public domain W3C validator