Theorem infpnlem2 12341

Description: Lemma for infpn 12342. For any positive integer 𝑁, there exists a prime number 𝑗 greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	⊢ 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑁   𝑗,𝐾,𝑘

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
2		nnnn0 9172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 10700	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 8923	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
5	1, 4	eqeltrid 2264	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	3	nnge1d 8951	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (!‘𝑁))
7		1nn 8919	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		nnleltp1 9301	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
10	6, 9	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((!‘𝑁) + 1))
11	10, 1	breqtrrdi 4042	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 𝐾)
12		nncn 8916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
13		nnap0 8937	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 # 0)
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 # 0))
15		dividap 8647	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 # 0) → (𝐾 / 𝐾) = 1)
16	5, 14, 15	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) = 1)
17	16, 7	eqeltrdi 2268	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)
18		breq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝐾))
19		oveq2 5877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝐾))
20	19	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ))
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)))
22	21	rspcev 2841	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 1236	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
24		1zzd 9269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
25		nnz 9261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
26	25	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
27		zdclt 9319	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → DECID 1 < 𝑗)
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID 1 < 𝑗)
29		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
30	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
31	30	nnzd 9363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
32		dvdsdc 11789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∥ 𝐾)
33	29, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID 𝑗 ∥ 𝐾)
34		nndivdvds 11787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
35	34	dcbid 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (DECID 𝑗 ∥ 𝐾 ↔ DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
36	5, 35	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (DECID 𝑗 ∥ 𝐾 ↔ DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
37	33, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)
38		dcan2 934	. . . . 5 ⊢ (DECID 1 < 𝑗 → (DECID (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ → DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)))
39	28, 37, 38	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
40	39	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
41		breq2 4004	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝑘))
42		oveq2 5877	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝑘))
43	42	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ))
44	41, 43	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ)))
45	44	nnwosdc 12023	. . 3 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)))
46	23, 40, 45	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)))
47	1	infpnlem1 12340	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)) → (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
48	47	reximdva 2579	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
49	46, 48	mpd 13	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   ≤ cle 7983   # cap 8528   / cdiv 8618  ℕcn 8908  ℤcz 9242  !cfa 10689   ∥ cdvds 11778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-fac 10690  df-dvds 11779

This theorem is referenced by:  infpn  12342