Theorem dif1o 6137

Description: Two ways to say that 𝐴 is a nonzero number of the set 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dif1o	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 1𝑜) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem dif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6129	. . . 4 ⊢ 1𝑜 = {∅}
2	1	difeq2i 3101	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 1𝑜) = (𝐵 ∖ {∅})
3	2	eleq2i 2151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 1𝑜) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {∅}))
4		eldifsn 3544	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5	3, 4	bitri 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 1𝑜) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1436   ≠ wne 2251   ∖ cdif 2983  ∅c0 3272  {csn 3425  1_𝑜c1o 6109

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rab 2364  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-nul 3273  df-sn 3431  df-suc 4165  df-1o 6116

This theorem is referenced by: (None)