Theorem el1o 6416

Description: Membership in ordinal one. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
el1o	⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem el1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6408	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	eleq2i 2237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {∅})
3		0ex 4116	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	elsn2 3617	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
5	2, 4	bitri 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414  {csn 3583  1_oc1o 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-nul 4115

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-suc 4356  df-1o 6395

This theorem is referenced by:  0lt1o  6419  map0e  6664  map1  6790  omp1eomlem  7071  ctmlemr  7085  ctssdclemn0  7087  exmidfodomrlemeldju  7176  exmidfodomrlemreseldju  7177  pw1on  7203  1tonninf  10396