Theorem el1o 6604

Description: Membership in ordinal one. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
el1o	⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem el1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6595	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	eleq2i 2298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {∅})
3		0ex 4216	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	elsn2 3703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
5	2, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494  {csn 3669  1_oc1o 6574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-nul 4215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-nul 3495  df-sn 3675  df-suc 4468  df-1o 6581

This theorem is referenced by:  0lt1o  6607  map0e  6854  map1  6986  1dom1el  6992  omp1eomlem  7292  ctmlemr  7306  ctssdclemn0  7308  exmidfodomrlemeldju  7409  exmidfodomrlemreseldju  7410  pw1on  7443  1tonninf  10702