Theorem el1o 6648

Description: Membership in ordinal one. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
el1o	⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem el1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6639	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	eleq2i 2298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {∅})
3		0ex 4221	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	elsn2 3707	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
5	2, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∅c0 3496  {csn 3673  1_oc1o 6618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-nul 4220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-nul 3497  df-sn 3679  df-suc 4474  df-1o 6625

This theorem is referenced by:  0lt1o  6651  map0e  6898  map1  7030  1dom1el  7036  omp1eomlem  7336  ctmlemr  7350  ctssdclemn0  7352  exmidfodomrlemeldju  7453  exmidfodomrlemreseldju  7454  pw1on  7487  1tonninf  10749