Theorem el1o 6513

Description: Membership in ordinal one. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
el1o	⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem el1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6505	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	eleq2i 2271	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {∅})
3		0ex 4170	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	elsn2 3666	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
5	2, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∅c0 3459  {csn 3632  1_oc1o 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-nul 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-nul 3460  df-sn 3638  df-suc 4416  df-1o 6492

This theorem is referenced by:  0lt1o  6516  map0e  6763  map1  6889  omp1eomlem  7178  ctmlemr  7192  ctssdclemn0  7194  exmidfodomrlemeldju  7289  exmidfodomrlemreseldju  7290  pw1on  7320  1tonninf  10567  1dom1el  15791