Theorem el1o 6440

Description: Membership in ordinal one. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
el1o	⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem el1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6432	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	eleq2i 2244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {∅})
3		0ex 4132	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	elsn2 3628	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
5	2, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∅c0 3424  {csn 3594  1_oc1o 6412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-nul 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-nul 3425  df-sn 3600  df-suc 4373  df-1o 6419

This theorem is referenced by:  0lt1o  6443  map0e  6688  map1  6814  omp1eomlem  7095  ctmlemr  7109  ctssdclemn0  7111  exmidfodomrlemeldju  7200  exmidfodomrlemreseldju  7201  pw1on  7227  1tonninf  10442