Theorem el1o 6437

Description: Membership in ordinal one. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
el1o	⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem el1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6429	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	eleq2i 2244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {∅})
3		0ex 4130	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	elsn2 3626	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
5	2, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∅c0 3422  {csn 3592  1_oc1o 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-nul 4129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-nul 3423  df-sn 3598  df-suc 4371  df-1o 6416

This theorem is referenced by:  0lt1o  6440  map0e  6685  map1  6811  omp1eomlem  7092  ctmlemr  7106  ctssdclemn0  7108  exmidfodomrlemeldju  7197  exmidfodomrlemreseldju  7198  pw1on  7224  1tonninf  10437