Theorem eldifsn 3760

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3648	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376   ∖ cdif 3163  {csn 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-v 2774  df-dif 3168  df-sn 3639

This theorem is referenced by:  eldifsni  3762  rexdifsn  3765  difsn  3770  fnniniseg2  5705  rexsupp  5706  mpodifsnif  6040  suppssfv  6156  suppssov1  6157  dif1o  6526  fidifsnen  6969  en2eleq  7305  en2other2  7306  elni  7423  divvalap  8749  elnnne0  9311  divfnzn  9744  modfzo0difsn  10542  modsumfzodifsn  10543  hashdifpr  10967  eff2  12024  tanvalap  12052  fzo0dvdseq  12201  oddprmgt2  12489  oddprmdvds  12710  4sqlem19  12765  setsslnid  12917  grpinvnzcl  13437  lssneln0  14169  rplogbval  15450  lgsfcl2  15516  lgsval2lem  15520  lgsval3  15528  lgsmod  15536  lgsdirprm  15544  lgsne0  15548  gausslemma2dlem0f  15564  lgsquad2lem2  15592  2lgsoddprm  15623