Theorem eldifsn 3822

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3706	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∖ cdif 3210  {csn 3691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-v 2817  df-dif 3215  df-sn 3697

This theorem is referenced by:  eldifsni  3824  rexdifsn  3827  eldifvsn  3828  difsn  3833  fnniniseg2  5803  mpodifsnif  6148  suppssov1  6265  mptsuppd  6458  suppssrst  6463  suppssrgst  6464  suppssfvg  6465  dif1o  6673  fidifsnen  7127  en2eleq  7500  en2other2  7501  elni  7628  divvalap  8953  elnnne0  9515  divfnzn  9959  modfzo0difsn  10764  modsumfzodifsn  10765  hashdifpr  11193  eff2  12374  tanvalap  12402  fzo0dvdseq  12551  oddprmgt2  12839  oddprmdvds  13060  4sqlem19  13115  setsslnid  13285  grpinvnzcl  13806  lssneln0  14571  rplogbval  15859  lgsfcl2  15928  lgsval2lem  15932  lgsval3  15940  lgsmod  15948  lgsdirprm  15956  lgsne0  15960  gausslemma2dlem0f  15976  lgsquad2lem2  16004  2lgsoddprm  16035  eupth2lem3lem3fi  16514