ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eldifsn GIF version

Theorem eldifsn 3618
Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
eldifsn (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶))

Proof of Theorem eldifsn
StepHypRef Expression
1 eldif 3048 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2 elsng 3510 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
32necon3bbid 2323 . . 3 (𝐴𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴𝐶))
43pm5.32i 447 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶))
51, 4bitri 183 1 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  wcel 1463  wne 2283  cdif 3036  {csn 3495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-v 2660  df-dif 3041  df-sn 3501
This theorem is referenced by:  eldifsni  3620  rexdifsn  3623  difsn  3625  fnniniseg2  5509  rexsupp  5510  mpodifsnif  5830  suppssfv  5944  suppssov1  5945  dif1o  6301  fidifsnen  6730  en2eleq  7015  en2other2  7016  elni  7080  divvalap  8397  elnnne0  8945  divfnzn  9365  modfzo0difsn  10119  modsumfzodifsn  10120  hashdifpr  10517  eff2  11296  tanvalap  11325  fzo0dvdseq  11462  oddprmgt2  11721  setsslnid  11916
  Copyright terms: Public domain W3C validator