Theorem eldifsn 3841

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2460	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-sn 3715

This theorem is used by:  eldifsni  3843  rexdifsn  3846  eldifvsn  3847  difsn  3852  fnniniseg2  5835  mpodifsnif  6184  suppssov1  6302  mptsuppd  6500  suppssrst  6505  suppssrgst  6506  suppssfvg  6507  dif1o  6716  fidifsnen  7178  en2eleq  7553  en2other2  7554  elni  7681  divvalap  9012  elnnne0  9588  divfnzn  10036  modfzo0difsn  10852  modsumfzodifsn  10853  hashdifpr  11282  eff2  12471  tanvalap  12499  fzo0dvdseq  12648  oddprmgt2  12937  oddprmdvds  13161  4sqlem19  13216  prmlem0  13248  prmlem1a  13249  setsslnid  13461  grpinvnzcl  13935  lssneln0  14819  mvrclfi  15226  rplogbval  16198  lgsfcl2  16347  lgsval2lem  16351  lgsval3  16359  lgsmod  16367  lgsdirprm  16375  lgsne0  16379  gausslemma2dlem0f  16395  lgsquad2lem2  16423  2lgsoddprm  16454  eupth2lem3lem3fi  16933