ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eldifsn GIF version

Theorem eldifsn 3686
Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
eldifsn (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶))

Proof of Theorem eldifsn
StepHypRef Expression
1 eldif 3111 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2 elsng 3575 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
32necon3bbid 2367 . . 3 (𝐴𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴𝐶))
43pm5.32i 450 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶))
51, 4bitri 183 1 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  wcel 2128  wne 2327  cdif 3099  {csn 3560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-v 2714  df-dif 3104  df-sn 3566
This theorem is referenced by:  eldifsni  3688  rexdifsn  3691  difsn  3693  fnniniseg2  5590  rexsupp  5591  mpodifsnif  5914  suppssfv  6028  suppssov1  6029  dif1o  6385  fidifsnen  6815  en2eleq  7130  en2other2  7131  elni  7228  divvalap  8547  elnnne0  9104  divfnzn  9530  modfzo0difsn  10294  modsumfzodifsn  10295  hashdifpr  10694  eff2  11577  tanvalap  11605  fzo0dvdseq  11748  oddprmgt2  12010  setsslnid  12241  rplogbval  13262
  Copyright terms: Public domain W3C validator