Theorem eldifsn 3771

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3183	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3658	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378   ∖ cdif 3171  {csn 3643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-v 2778  df-dif 3176  df-sn 3649

This theorem is referenced by:  eldifsni  3773  rexdifsn  3776  difsn  3781  fnniniseg2  5726  rexsupp  5727  mpodifsnif  6061  suppssfv  6177  suppssov1  6178  dif1o  6547  fidifsnen  6993  en2eleq  7334  en2other2  7335  elni  7456  divvalap  8782  elnnne0  9344  divfnzn  9777  modfzo0difsn  10577  modsumfzodifsn  10578  hashdifpr  11002  eff2  12106  tanvalap  12134  fzo0dvdseq  12283  oddprmgt2  12571  oddprmdvds  12792  4sqlem19  12847  setsslnid  12999  grpinvnzcl  13519  lssneln0  14251  rplogbval  15532  lgsfcl2  15598  lgsval2lem  15602  lgsval3  15610  lgsmod  15618  lgsdirprm  15626  lgsne0  15630  gausslemma2dlem0f  15646  lgsquad2lem2  15674  2lgsoddprm  15705