Theorem eldifsn 3798

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3682	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2440	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ∖ cdif 3195  {csn 3667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2802  df-dif 3200  df-sn 3673

This theorem is referenced by:  eldifsni  3800  rexdifsn  3803  difsn  3808  fnniniseg2  5766  rexsupp  5767  mpodifsnif  6109  suppssfv  6226  suppssov1  6227  dif1o  6601  fidifsnen  7052  en2eleq  7399  en2other2  7400  elni  7521  divvalap  8847  elnnne0  9409  divfnzn  9848  modfzo0difsn  10650  modsumfzodifsn  10651  hashdifpr  11077  eff2  12234  tanvalap  12262  fzo0dvdseq  12411  oddprmgt2  12699  oddprmdvds  12920  4sqlem19  12975  setsslnid  13127  grpinvnzcl  13648  lssneln0  14381  rplogbval  15662  lgsfcl2  15728  lgsval2lem  15732  lgsval3  15740  lgsmod  15748  lgsdirprm  15756  lgsne0  15760  gausslemma2dlem0f  15776  lgsquad2lem2  15804  2lgsoddprm  15835