Theorem eldifsn 3745

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3633	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2404	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ∖ cdif 3150  {csn 3618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-v 2762  df-dif 3155  df-sn 3624

This theorem is referenced by:  eldifsni  3747  rexdifsn  3750  difsn  3755  fnniniseg2  5681  rexsupp  5682  mpodifsnif  6011  suppssfv  6126  suppssov1  6127  dif1o  6491  fidifsnen  6926  en2eleq  7255  en2other2  7256  elni  7368  divvalap  8693  elnnne0  9254  divfnzn  9686  modfzo0difsn  10466  modsumfzodifsn  10467  hashdifpr  10891  eff2  11823  tanvalap  11851  fzo0dvdseq  11999  oddprmgt2  12272  oddprmdvds  12492  4sqlem19  12547  setsslnid  12670  grpinvnzcl  13144  lssneln0  13870  rplogbval  15077  lgsfcl2  15122  lgsval2lem  15126  lgsval3  15134  lgsmod  15142  lgsdirprm  15150  lgsne0  15154  gausslemma2dlem0f  15170