Theorem eldifsn 3825

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3709	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∖ cdif 3211  {csn 3694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-v 2817  df-dif 3216  df-sn 3700

This theorem is referenced by:  eldifsni  3827  rexdifsn  3830  eldifvsn  3831  difsn  3836  fnniniseg2  5806  mpodifsnif  6154  suppssov1  6272  mptsuppd  6469  suppssrst  6474  suppssrgst  6475  suppssfvg  6476  dif1o  6684  fidifsnen  7138  en2eleq  7511  en2other2  7512  elni  7639  divvalap  8968  elnnne0  9530  divfnzn  9974  modfzo0difsn  10784  modsumfzodifsn  10785  hashdifpr  11213  eff2  12394  tanvalap  12422  fzo0dvdseq  12571  oddprmgt2  12859  oddprmdvds  13080  4sqlem19  13135  setsslnid  13351  grpinvnzcl  13830  lssneln0  14651  rplogbval  15939  lgsfcl2  16008  lgsval2lem  16012  lgsval3  16020  lgsmod  16028  lgsdirprm  16036  lgsne0  16040  gausslemma2dlem0f  16056  lgsquad2lem2  16084  2lgsoddprm  16115  eupth2lem3lem3fi  16594