Theorem eldifsn 3839

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3723	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2460	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217  {csn 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-sn 3714

This theorem is referenced by:  eldifsni  3841  rexdifsn  3844  eldifvsn  3845  difsn  3850  fnniniseg2  5826  mpodifsnif  6175  suppssov1  6293  mptsuppd  6490  suppssrst  6495  suppssrgst  6496  suppssfvg  6497  dif1o  6705  fidifsnen  7166  en2eleq  7541  en2other2  7542  elni  7669  divvalap  8998  elnnne0  9560  divfnzn  10004  modfzo0difsn  10815  modsumfzodifsn  10816  hashdifpr  11244  eff2  12430  tanvalap  12458  fzo0dvdseq  12607  oddprmgt2  12895  oddprmdvds  13116  4sqlem19  13171  setsslnid  13387  grpinvnzcl  13860  lssneln0  14694  rplogbval  16030  lgsfcl2  16108  lgsval2lem  16112  lgsval3  16120  lgsmod  16128  lgsdirprm  16136  lgsne0  16140  gausslemma2dlem0f  16156  lgsquad2lem2  16184  2lgsoddprm  16215  eupth2lem3lem3fi  16694