Theorem eldifsn 3795

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3681	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2440	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ∖ cdif 3194  {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2801  df-dif 3199  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  eldifsni  3797  rexdifsn  3800  difsn  3805  fnniniseg2  5760  rexsupp  5761  mpodifsnif  6103  suppssfv  6220  suppssov1  6221  dif1o  6592  fidifsnen  7040  en2eleq  7384  en2other2  7385  elni  7506  divvalap  8832  elnnne0  9394  divfnzn  9828  modfzo0difsn  10629  modsumfzodifsn  10630  hashdifpr  11055  eff2  12207  tanvalap  12235  fzo0dvdseq  12384  oddprmgt2  12672  oddprmdvds  12893  4sqlem19  12948  setsslnid  13100  grpinvnzcl  13621  lssneln0  14354  rplogbval  15635  lgsfcl2  15701  lgsval2lem  15705  lgsval3  15713  lgsmod  15721  lgsdirprm  15729  lgsne0  15733  gausslemma2dlem0f  15749  lgsquad2lem2  15777  2lgsoddprm  15808