Theorem eldifsn 3841

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}))
2		elsng 3724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 = 𝐶))
3	2	necon3bbid 2460	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶} ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
4	3	pm5.32i 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5	1, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-sn 3715

This theorem is used by:  eldifsni  3843  rexdifsn  3846  eldifvsn  3847  difsn  3852  fnniniseg2  5835  mpodifsnif  6184  suppssov1  6302  mptsuppd  6500  suppssrst  6505  suppssrgst  6506  suppssfvg  6507  dif1o  6715  fidifsnen  7177  en2eleq  7554  en2other2  7555  elni  7682  divvalap  9013  elnnne0  9589  divfnzn  10038  modfzo0difsn  10854  modsumfzodifsn  10855  hashdifpr  11284  eff2  12473  tanvalap  12501  fzo0dvdseq  12650  oddprmgt2  12939  oddprmdvds  13163  4sqlem19  13218  prmlem0  13250  prmlem1a  13251  setsslnid  13463  grpinvnzcl  13937  lssneln0  14821  rplogbval  16193  lgsfcl2  16342  lgsval2lem  16346  lgsval3  16354  lgsmod  16362  lgsdirprm  16370  lgsne0  16374  gausslemma2dlem0f  16390  lgsquad2lem2  16418  2lgsoddprm  16449  eupth2lem3lem3fi  16928