Theorem eupth2lem1 16613

Description: Lemma for eupth2 . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem1	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if(𝐴 = 𝐵, ∅, {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑈 = 𝐴 ∨ 𝑈 = 𝐵))))

Proof of Theorem eupth2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elif 3649	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ if(𝐴 = 𝐵, ∅, {𝐴, 𝐵}) ↔ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅) ∨ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵})))
2		noel 3525	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑈 ∈ ∅
3	2	intnan 941	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅)
4		biorf 756	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅) → ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅) ∨ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅) ∨ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵})))
6	1, 5	bitr4i 187	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ if(𝐴 = 𝐵, ∅, {𝐴, 𝐵}) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))
7		df-ne 2421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
8	7	bicomi 132	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
10		elprg 3725	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑈 = 𝐴 ∨ 𝑈 = 𝐵)))
11	9, 10	anbi12d 477	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑈 = 𝐴 ∨ 𝑈 = 𝐵))))
12	6, 11	bitrid 192	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if(𝐴 = 𝐵, ∅, {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑈 = 𝐴 ∨ 𝑈 = 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520  ifcif 3635  {cpr 3706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-nul 3521  df-if 3636  df-sn 3711  df-pr 3712

This theorem is referenced by:  eupth2lem2dc  16614  eupth2lem3lem6fi  16626