Theorem eupth2lem1 16453

Description: Lemma for eupth2 . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem1	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if(𝐴 = 𝐵, ∅, {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑈 = 𝐴 ∨ 𝑈 = 𝐵))))

Proof of Theorem eupth2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elif 3634	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ if(𝐴 = 𝐵, ∅, {𝐴, 𝐵}) ↔ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅) ∨ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵})))
2		noel 3512	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑈 ∈ ∅
3	2	intnan 937	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅)
4		biorf 752	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅) → ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅) ∨ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ ∅) ∨ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵})))
6	1, 5	bitr4i 187	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ if(𝐴 = 𝐵, ∅, {𝐴, 𝐵}) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))
7		df-ne 2413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
8	7	bicomi 132	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
10		elprg 3709	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑈 = 𝐴 ∨ 𝑈 = 𝐵)))
11	9, 10	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑈 = 𝐴 ∨ 𝑈 = 𝐵))))
12	6, 11	bitrid 192	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ if(𝐴 = 𝐵, ∅, {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑈 = 𝐴 ∨ 𝑈 = 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∅c0 3508  ifcif 3620  {cpr 3690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-nul 3509  df-if 3621  df-sn 3695  df-pr 3696

This theorem is referenced by:  eupth2lem2dc  16454  eupth2lem3lem6fi  16466