Theorem modfsummodlemstep 11976

Description: Induction step for modfsummod 11977. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummodlemstep.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummodlemstep.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
modfsummodlemstep.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
modfsummodlemstep.h	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
5		df-nel 2496	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∉ 𝐴)
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
8		fsumsplitsnun 11938	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1276	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
10	9	oveq1d 6022	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
11		ralunb 3385	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
12	11	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
14		fsumzcl2 11924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
15	1, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
16		zq 9829	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
18		modfsummodlem1 11975	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
20		zq 9829	. . . . . 6 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
23		nnq 9836	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
25	22	nngt0d 9162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
26		modqaddabs 10592	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
28	27	eqcomd 2235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
30		modqabs2 10588	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
32	31	eqcomd 2235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
33	29, 32	oveq12d 6025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
34	33	oveq1d 6022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
35	28, 34	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
36		zmodcl 10574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
37	36	nn0zd 9575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
39	38	ralimdv 2598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
41		fsumzcl2 11924	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43		zq 9829	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
44	42, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
45	19, 22	zmodcld 10575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
46		nn0z 9474	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
47		zq 9829	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
49		modqaddabs 10592	. . . 4 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
51	38	ralimdv 2598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
53		fsumsplitsnun 11938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
55		csbov1g 6048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
56	55	elv 2803	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
57	56	oveq2i 6018	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
58	54, 57	eqtr2di 2279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
59	58	oveq1d 6022	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
60	50, 59	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
61	10, 35, 60	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∉ wnel 2495  ∀wral 2508  Vcvv 2799  ⦋csb 3124   ∪ cun 3195  {csn 3666   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  0cc0 8007   + caddc 8010   < clt 8189  ℕcn 9118  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ℚcq 9822   mod cmo 10552  Σcsu 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873

This theorem is referenced by:  modfsummod  11977