ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modfsummodlemstep GIF version

Theorem modfsummodlemstep 10847
Description: Induction step for modfsummod 10848. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummodlemstep.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
modfsummodlemstep.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
modfsummodlemstep.b (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
modfsummodlemstep.z (𝜑 → ¬ 𝑧𝐴)
modfsummodlemstep.h (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
modfsummodlemstep (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummodlemstep
StepHypRef Expression
1 modfsummodlemstep.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 vex 2622 . . . . 5 𝑧 ∈ V
32a1i 9 . . . 4 (𝜑𝑧 ∈ V)
4 modfsummodlemstep.z . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐴)
5 df-nel 2351 . . . . 5 (𝑧𝐴 ↔ ¬ 𝑧𝐴)
64, 5sylibr 132 . . . 4 (𝜑𝑧𝐴)
7 modfsummodlemstep.b . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
8 fsumsplitsnun 10809 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
91, 3, 6, 7, 8syl121anc 1179 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
109oveq1d 5667 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
11 ralunb 3181 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
1211simplbi 268 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
137, 12syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
14 fsumzcl2 10795 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
151, 13, 14syl2anc 403 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
16 zq 9109 . . . . . 6 𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
1715, 16syl 14 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
18 modfsummodlem1 10846 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
197, 18syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
20 zq 9109 . . . . . 6 (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℚ)
2119, 20syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℚ)
22 modfsummodlemstep.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
23 nnq 9116 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
2422, 23syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
2522nngt0d 8464 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝑁)
26 modqaddabs 9765 . . . . 5 (((Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
2717, 21, 24, 25, 26syl22anc 1175 . . . 4 (𝜑 → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
2827eqcomd 2093 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
29 modfsummodlemstep.h . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
30 modqabs2 9761 . . . . . . 7 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
3121, 24, 25, 30syl3anc 1174 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
3231eqcomd 2093 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
3329, 32oveq12d 5670 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
3433oveq1d 5667 . . 3 (𝜑 → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
3528, 34eqtrd 2120 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
36 zmodcl 9747 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3736nn0zd 8864 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
3837expcom 114 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
3938ralimdv 2442 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
4022, 13, 39sylc 61 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
41 fsumzcl2 10795 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
421, 40, 41syl2anc 403 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43 zq 9109 . . . . 5 𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
4442, 43syl 14 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
4519, 22zmodcld 9748 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
46 nn0z 8768 . . . . 5 ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
47 zq 9109 . . . . 5 ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
4845, 46, 473syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
49 modqaddabs 9765 . . . 4 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5044, 48, 24, 25, 49syl22anc 1175 . . 3 (𝜑 → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5138ralimdv 2442 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
5222, 7, 51sylc 61 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
53 fsumsplitsnun 10809 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
541, 3, 6, 52, 53syl121anc 1179 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
55 csbov1g 5689 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
5655elv 2623 . . . . . 6 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)
5756oveq2i 5663 . . . . 5 𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
5854, 57syl6req 2137 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
5958oveq1d 5667 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
6050, 59eqtrd 2120 . 2 (𝜑 → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
6110, 35, 603eqtrd 2124 1 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wnel 2350  wral 2359  Vcvv 2619  csb 2933  cun 2997  {csn 3446   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  Fincfn 6455  0cc0 7348   + caddc 7351   < clt 7520  cn 8420  0cn0 8671  cz 8748  cq 9102   mod cmo 9725  Σcsu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-fl 9673  df-mod 9726  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  modfsummod  10848
  Copyright terms: Public domain W3C validator