Theorem modfsummodlemstep 12136

Description: Induction step for modfsummod 12137. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummodlemstep.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummodlemstep.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
modfsummodlemstep.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
modfsummodlemstep.h	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vex 2815	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
5		df-nel 2508	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∉ 𝐴)
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
8		fsumsplitsnun 12098	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1279	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
10	9	oveq1d 6064	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
11		ralunb 3399	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
12	11	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
14		fsumzcl2 12084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
15	1, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
16		zq 9954	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
18		modfsummodlem1 12135	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
20		zq 9954	. . . . . 6 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
23		nnq 9961	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
25	22	nngt0d 9277	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
26		modqaddabs 10720	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
28	27	eqcomd 2238	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
30		modqabs2 10716	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
32	31	eqcomd 2238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
33	29, 32	oveq12d 6067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
34	33	oveq1d 6064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
35	28, 34	eqtrd 2265	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
36		zmodcl 10702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
37	36	nn0zd 9694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
39	38	ralimdv 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
41		fsumzcl2 12084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43		zq 9954	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
44	42, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
45	19, 22	zmodcld 10703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
46		nn0z 9593	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
47		zq 9954	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
49		modqaddabs 10720	. . . 4 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
51	38	ralimdv 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
53		fsumsplitsnun 12098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
55		csbov1g 6090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
56	55	elv 2816	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
57	56	oveq2i 6060	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
58	54, 57	eqtr2di 2282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
59	58	oveq1d 6064	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
60	50, 59	eqtrd 2265	. 2 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
61	10, 35, 60	3eqtrd 2269	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∉ wnel 2507  ∀wral 2520  Vcvv 2812  ⦋csb 3137   ∪ cun 3208  {csn 3688   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  Fincfn 6974  0cc0 8123   + caddc 8126   < clt 8304  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ℚcq 9947   mod cmo 10680  Σcsu 12031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-ihash 11134  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-clim 11957  df-sumdc 12032

This theorem is referenced by:  modfsummod  12137