Theorem modfsummodlemstep 11812

Description: Induction step for modfsummod 11813. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummodlemstep.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummodlemstep.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
modfsummodlemstep.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
modfsummodlemstep.h	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
5		df-nel 2473	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∉ 𝐴)
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
8		fsumsplitsnun 11774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1255	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
10	9	oveq1d 5966	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
11		ralunb 3355	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
12	11	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
14		fsumzcl2 11760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
15	1, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
16		zq 9754	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
18		modfsummodlem1 11811	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
20		zq 9754	. . . . . 6 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
23		nnq 9761	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
25	22	nngt0d 9087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
26		modqaddabs 10514	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
28	27	eqcomd 2212	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
30		modqabs2 10510	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
32	31	eqcomd 2212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
33	29, 32	oveq12d 5969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
34	33	oveq1d 5966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
35	28, 34	eqtrd 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
36		zmodcl 10496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
37	36	nn0zd 9500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
39	38	ralimdv 2575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
41		fsumzcl2 11760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43		zq 9754	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
44	42, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
45	19, 22	zmodcld 10497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
46		nn0z 9399	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
47		zq 9754	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
49		modqaddabs 10514	. . . 4 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
51	38	ralimdv 2575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
53		fsumsplitsnun 11774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
55		csbov1g 5992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
56	55	elv 2777	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
57	56	oveq2i 5962	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
58	54, 57	eqtr2di 2256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
59	58	oveq1d 5966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
60	50, 59	eqtrd 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
61	10, 35, 60	3eqtrd 2243	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∉ wnel 2472  ∀wral 2485  Vcvv 2773  ⦋csb 3094   ∪ cun 3165  {csn 3634   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  Fincfn 6834  0cc0 7932   + caddc 7935   < clt 8114  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ℚcq 9747   mod cmo 10474  Σcsu 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709

This theorem is referenced by:  modfsummod  11813