Theorem modfsummodlemstep 12041

Description: Induction step for modfsummod 12042. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummodlemstep.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummodlemstep.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
modfsummodlemstep.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
modfsummodlemstep.h	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vex 2804	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
5		df-nel 2497	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∉ 𝐴)
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
8		fsumsplitsnun 12003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
10	9	oveq1d 6038	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
11		ralunb 3387	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
12	11	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
14		fsumzcl2 11989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
15	1, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
16		zq 9865	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
18		modfsummodlem1 12040	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
20		zq 9865	. . . . . 6 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
23		nnq 9872	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
25	22	nngt0d 9192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
26		modqaddabs 10630	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
28	27	eqcomd 2236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
30		modqabs2 10626	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
32	31	eqcomd 2236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
33	29, 32	oveq12d 6041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
34	33	oveq1d 6038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
35	28, 34	eqtrd 2263	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
36		zmodcl 10612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
37	36	nn0zd 9605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
39	38	ralimdv 2599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
41		fsumzcl2 11989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43		zq 9865	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
44	42, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
45	19, 22	zmodcld 10613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
46		nn0z 9504	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
47		zq 9865	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
49		modqaddabs 10630	. . . 4 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
51	38	ralimdv 2599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
53		fsumsplitsnun 12003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
55		csbov1g 6064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
56	55	elv 2805	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
57	56	oveq2i 6034	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
58	54, 57	eqtr2di 2280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
59	58	oveq1d 6038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
60	50, 59	eqtrd 2263	. 2 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
61	10, 35, 60	3eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ∉ wnel 2496  ∀wral 2509  Vcvv 2801  ⦋csb 3126   ∪ cun 3197  {csn 3670   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  Fincfn 6914  0cc0 8037   + caddc 8040   < clt 8219  ℕcn 9148  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℚcq 9858   mod cmo 10590  Σcsu 11936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-er 6707  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937

This theorem is referenced by:  modfsummod  12042