ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modfsummodlemstep GIF version

Theorem modfsummodlemstep 11465
Description: Induction step for modfsummod 11466. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummodlemstep.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
modfsummodlemstep.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
modfsummodlemstep.b (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
modfsummodlemstep.z (𝜑 → ¬ 𝑧𝐴)
modfsummodlemstep.h (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
modfsummodlemstep (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummodlemstep
StepHypRef Expression
1 modfsummodlemstep.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 vex 2741 . . . . 5 𝑧 ∈ V
32a1i 9 . . . 4 (𝜑𝑧 ∈ V)
4 modfsummodlemstep.z . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐴)
5 df-nel 2443 . . . . 5 (𝑧𝐴 ↔ ¬ 𝑧𝐴)
64, 5sylibr 134 . . . 4 (𝜑𝑧𝐴)
7 modfsummodlemstep.b . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
8 fsumsplitsnun 11427 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
91, 3, 6, 7, 8syl121anc 1243 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
109oveq1d 5890 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
11 ralunb 3317 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
1211simplbi 274 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
137, 12syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
14 fsumzcl2 11413 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
151, 13, 14syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
16 zq 9626 . . . . . 6 𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
1715, 16syl 14 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
18 modfsummodlem1 11464 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
197, 18syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
20 zq 9626 . . . . . 6 (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℚ)
2119, 20syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℚ)
22 modfsummodlemstep.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
23 nnq 9633 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
2422, 23syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
2522nngt0d 8963 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝑁)
26 modqaddabs 10362 . . . . 5 (((Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
2717, 21, 24, 25, 26syl22anc 1239 . . . 4 (𝜑 → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
2827eqcomd 2183 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
29 modfsummodlemstep.h . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
30 modqabs2 10358 . . . . . . 7 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
3121, 24, 25, 30syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
3231eqcomd 2183 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
3329, 32oveq12d 5893 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
3433oveq1d 5890 . . 3 (𝜑 → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
3528, 34eqtrd 2210 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
36 zmodcl 10344 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3736nn0zd 9373 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
3837expcom 116 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
3938ralimdv 2545 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
4022, 13, 39sylc 62 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
41 fsumzcl2 11413 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
421, 40, 41syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43 zq 9626 . . . . 5 𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
4442, 43syl 14 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
4519, 22zmodcld 10345 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
46 nn0z 9273 . . . . 5 ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
47 zq 9626 . . . . 5 ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
4845, 46, 473syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
49 modqaddabs 10362 . . . 4 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5044, 48, 24, 25, 49syl22anc 1239 . . 3 (𝜑 → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5138ralimdv 2545 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
5222, 7, 51sylc 62 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
53 fsumsplitsnun 11427 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
541, 3, 6, 52, 53syl121anc 1243 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
55 csbov1g 5915 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
5655elv 2742 . . . . . 6 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)
5756oveq2i 5886 . . . . 5 𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
5854, 57eqtr2di 2227 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
5958oveq1d 5890 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
6050, 59eqtrd 2210 . 2 (𝜑 → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
6110, 35, 603eqtrd 2214 1 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wnel 2442  wral 2455  Vcvv 2738  csb 3058  cun 3128  {csn 3593   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  0cc0 7811   + caddc 7814   < clt 7992  cn 8919  0cn0 9176  cz 9253  cq 9619   mod cmo 10322  Σcsu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  modfsummod  11466
  Copyright terms: Public domain W3C validator