Theorem modfsummod 11399

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2		modfsummod.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		modfsummod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		raleq 2661	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
5	4	anbi1d 461	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6		sumeq1 11296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
7	6	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8		sumeq1 11296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
9	8	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
10	7, 9	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
11	5, 10	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12		raleq 2661	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
13	12	anbi1d 461	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14		sumeq1 11296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
15	14	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16		sumeq1 11296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
17	16	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
18	15, 17	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
19	13, 18	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20		raleq 2661	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
21	20	anbi1d 461	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22		sumeq1 11296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
23	22	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24		sumeq1 11296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
25	24	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
26	23, 25	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
27	21, 26	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28		raleq 2661	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
29	28	anbi1d 461	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30		sumeq1 11296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
31	30	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32		sumeq1 11296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
33	32	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
34	31, 33	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
35	29, 34	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36		sum0 11329	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
37	36	oveq1i 5852	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
38		sum0 11329	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
40	39	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
41	37, 40	eqtr4id 2218	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
42	41	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43		simp-4l 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑦 ∈ Fin)
44		simprr 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
45	44	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
46		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
47	46	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
48		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ)
49		ralun 3304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
50	47, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
51		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
52	51	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
53		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
54	43, 45, 50, 52, 53	modfsummodlemstep 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
55	54	exp31 362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
56	55	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
57	56	ex 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
58	57	a2d 26	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
59		ralunb 3303	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
60	59	anbi1i 454	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
61	60	imbi1i 237	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
62		an32 552	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
63	62	imbi1i 237	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
64		impexp 261	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
65	61, 63, 64	3bitri 205	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
66	58, 65	syl6ibr 161	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
67	11, 19, 27, 35, 42, 66	findcard2s 6856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
68	3, 67	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
69	1, 2, 68	mp2and 430	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   ∪ cun 3114  ∅c0 3409  {csn 3576  (class class class)co 5842  Fincfn 6706  0cc0 7753  ℕcn 8857  ℤcz 9191   mod cmo 10257  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

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