Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | modfsummod.2 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) |
2 | | modfsummod.n |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
3 | | modfsummod.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) |
4 | | raleq 2665 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈
ℤ)) |
5 | 4 | anbi1d 462 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = ∅ →
((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℕ))) |
6 | | sumeq1 11311 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) |
7 | 6 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁)) |
8 | | sumeq1 11311 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁)) |
9 | 8 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |
10 | 7, 9 | eqeq12d 2185 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))) |
11 | 5, 10 | imbi12d 233 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = ∅ →
(((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
12 | | raleq 2665 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)) |
13 | 12 | anbi1d 462 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))) |
14 | | sumeq1 11311 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) |
15 | 14 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁)) |
16 | | sumeq1 11311 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁)) |
17 | 16 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |
18 | 15, 17 | eqeq12d 2185 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))) |
19 | 13, 18 | imbi12d 233 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
20 | | raleq 2665 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) |
21 | 20 | anbi1d 462 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))) |
22 | | sumeq1 11311 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) |
23 | 22 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁)) |
24 | | sumeq1 11311 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁)) |
25 | 24 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |
26 | 23, 25 | eqeq12d 2185 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))) |
27 | 21, 26 | imbi12d 233 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
28 | | raleq 2665 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)) |
29 | 28 | anbi1d 462 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))) |
30 | | sumeq1 11311 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
31 | 30 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁)) |
32 | | sumeq1 11311 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁)) |
33 | 32 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |
34 | 31, 33 | eqeq12d 2185 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))) |
35 | 29, 34 | imbi12d 233 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
36 | | sum0 11344 |
. . . . . . 7
⊢
Σ𝑘 ∈
∅ 𝐵 =
0 |
37 | 36 | oveq1i 5861 |
. . . . . 6
⊢
(Σ𝑘 ∈
∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) |
38 | | sum0 11344 |
. . . . . . . 8
⊢
Σ𝑘 ∈
∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0 |
39 | 38 | a1i 9 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
Σ𝑘 ∈ ∅
(𝐵 mod 𝑁) = 0) |
40 | 39 | oveq1d 5866 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(Σ𝑘 ∈ ∅
(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) |
41 | 37, 40 | eqtr4id 2222 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(Σ𝑘 ∈ ∅
𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |
42 | 41 | adantl 275 |
. . . 4
⊢
((∀𝑘 ∈
∅ 𝐵 ∈ ℤ
∧ 𝑁 ∈ ℕ)
→ (Σ𝑘 ∈
∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |
43 | | simp-4l 536 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑦 ∈ Fin
∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑦 ∈ Fin) |
44 | | simprr 527 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
45 | 44 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑦 ∈ Fin
∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
46 | | simprl 526 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ) |
47 | 46 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑦 ∈ Fin
∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ) |
48 | | simplr 525 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑦 ∈ Fin
∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) |
49 | | ralun 3309 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((∀𝑘 ∈
𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) |
50 | 47, 48, 49 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑦 ∈ Fin
∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) |
51 | | simplr 525 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) |
52 | 51 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑦 ∈ Fin
∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) |
53 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑦 ∈ Fin
∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |
54 | 43, 45, 50, 52, 53 | modfsummodlemstep 11413 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑦 ∈ Fin
∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |
55 | 54 | exp31 362 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
56 | 55 | com23 78 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
57 | 56 | ex 114 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))) |
58 | 57 | a2d 26 |
. . . . 5
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))) |
59 | | ralunb 3308 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑘 ∈
(𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ)) |
60 | 59 | anbi1i 455 |
. . . . . . 7
⊢
((∀𝑘 ∈
(𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) |
61 | 60 | imbi1i 237 |
. . . . . 6
⊢
(((∀𝑘 ∈
(𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))) |
62 | | an32 557 |
. . . . . . 7
⊢
(((∀𝑘 ∈
𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ)) |
63 | 62 | imbi1i 237 |
. . . . . 6
⊢
((((∀𝑘 ∈
𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))) |
64 | | impexp 261 |
. . . . . 6
⊢
((((∀𝑘 ∈
𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
65 | 61, 63, 64 | 3bitri 205 |
. . . . 5
⊢
(((∀𝑘 ∈
(𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
66 | 58, 65 | syl6ibr 161 |
. . . 4
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))) |
67 | 11, 19, 27, 35, 42, 66 | findcard2s 6866 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ Fin →
((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))) |
68 | 3, 67 | syl 14 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))) |
69 | 1, 2, 68 | mp2and 431 |
1
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) |