Theorem modfsummod 11990

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2		modfsummod.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		modfsummod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		raleq 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
5	4	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6		sumeq1 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
7	6	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8		sumeq1 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
9	8	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
10	7, 9	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
11	5, 10	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12		raleq 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
13	12	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14		sumeq1 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
15	14	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16		sumeq1 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
17	16	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
18	15, 17	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
19	13, 18	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20		raleq 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
21	20	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22		sumeq1 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
23	22	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24		sumeq1 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
25	24	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
26	23, 25	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
27	21, 26	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28		raleq 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
29	28	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30		sumeq1 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
31	30	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32		sumeq1 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
33	32	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
34	31, 33	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
35	29, 34	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36		sum0 11920	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
37	36	oveq1i 6020	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
38		sum0 11920	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
40	39	oveq1d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
41	37, 40	eqtr4id 2281	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
42	41	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑦 ∈ Fin)
44		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
46		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
48		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ)
49		ralun 3386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
51		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
54	43, 45, 50, 52, 53	modfsummodlemstep 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
55	54	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
56	55	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
57	56	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
58	57	a2d 26	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
59		ralunb 3385	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
60	59	anbi1i 458	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
61	60	imbi1i 238	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
62		an32 562	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
63	62	imbi1i 238	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
64		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
65	61, 63, 64	3bitri 206	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
66	58, 65	imbitrrdi 162	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
67	11, 19, 27, 35, 42, 66	findcard2s 7065	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
68	3, 67	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
69	1, 2, 68	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∪ cun 3195  ∅c0 3491  {csn 3666  (class class class)co 6010  Fincfn 6900  0cc0 8015  ℕcn 9126  ℤcz 9462   mod cmo 10561  Σcsu 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886

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