ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modfsummod GIF version

Theorem modfsummod 11414
Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
modfsummod (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modfsummod.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2 modfsummod.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 modfsummod.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 raleq 2665 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
54anbi1d 462 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6 sumeq1 11311 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
76oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8 sumeq1 11311 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
98oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
107, 9eqeq12d 2185 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
115, 10imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12 raleq 2665 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
1312anbi1d 462 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14 sumeq1 11311 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1514oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16 sumeq1 11311 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
1716oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
1815, 17eqeq12d 2185 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1913, 18imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20 raleq 2665 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
2120anbi1d 462 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22 sumeq1 11311 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
2322oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24 sumeq1 11311 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
2524oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
2623, 25eqeq12d 2185 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
2721, 26imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28 raleq 2665 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
2928anbi1d 462 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30 sumeq1 11311 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
3130oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32 sumeq1 11311 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
3332oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
3431, 33eqeq12d 2185 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
3529, 34imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36 sum0 11344 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
3736oveq1i 5861 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
38 sum0 11344 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
3938a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
4039oveq1d 5866 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
4137, 40eqtr4id 2222 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4241adantl 275 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43 simp-4l 536 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑦 ∈ Fin)
44 simprr 527 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4544ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
46 simprl 526 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
4746ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
48 simplr 525 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ)
49 ralun 3309 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
5047, 48, 49syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
51 simplr 525 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ 𝑧𝑦)
5251ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ¬ 𝑧𝑦)
53 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5443, 45, 50, 52, 53modfsummodlemstep 11413 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5554exp31 362 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5655com23 78 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5756ex 114 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
5857a2d 26 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
59 ralunb 3308 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
6059anbi1i 455 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
6160imbi1i 237 . . . . . 6 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
62 an32 557 . . . . . . 7 (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
6362imbi1i 237 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
64 impexp 261 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6561, 63, 643bitri 205 . . . . 5 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6658, 65syl6ibr 161 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6711, 19, 27, 35, 42, 66findcard2s 6866 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
683, 67syl 14 . 2 (𝜑 → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
691, 2, 68mp2and 431 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  cun 3119  c0 3414  {csn 3581  (class class class)co 5851  Fincfn 6716  0cc0 7767  cn 8871  cz 9205   mod cmo 10271  Σcsu 11309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6511  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-fl 10219  df-mod 10272  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-ihash 10703  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235  df-sumdc 11310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator