HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 115 of 149)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 11401-11500   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremfsum3cvg2 11401* The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (๐‘€...๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ (seq๐‘€( + , ๐น)โ€˜๐‘))
 
Theoremfsumsersdc 11402* Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-May-2023.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (๐‘€...๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (seq๐‘€( + , ๐น)โ€˜๐‘))
 
Theoremfsum3cvg3 11403* A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
 
Theoremfsum3ser 11404* A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 11419 and fsump1 11427, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 11407, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (seq๐‘€( + , ๐น)โ€˜๐‘))
 
Theoremfsumcl2lem 11405* - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremfsumcllem 11406* - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ ๐‘†)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremfsumcl 11407* Closure of a finite sum of complex numbers ๐ด(๐‘˜). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
 
Theoremfsumrecl 11408* Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„)
 
Theoremfsumzcl 11409* Closure of a finite sum of integers. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค)
 
Theoremfsumnn0cl 11410* Closure of a finite sum of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„•0)
 
Theoremfsumrpcl 11411* Closure of a finite sum of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„+)
 
Theoremfsumzcl2 11412* A finite sum with integer summands is an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค)
 
Theoremfsumadd 11413* The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต + ๐ถ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ))
 
Theoremfsumsplit 11414* Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
 
Theoremfsumsplitf 11415* Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11414 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
 
Theoremsumsnf 11416* A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11418 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐ต    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = ๐ต)
 
Theoremfsumsplitsn 11417* Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ท    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ + ๐ท))
 
Theoremsumsn 11418* A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
(๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = ๐ต)
 
Theoremfsum1 11419* The finite sum of ๐ด(๐‘˜) from ๐‘˜ = ๐‘€ to ๐‘€ (i.e. a sum with only one term) is ๐ต i.e. ๐ด(๐‘€). (Contributed by NM, 8-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
(๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด = ๐ต)
 
Theoremsumpr 11420* A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
(๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ถ = (๐ท + ๐ธ))
 
Theoremsumtp 11421* A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)
(๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)    &   (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)    &   (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ ๐ท = ๐บ)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‚))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘‹))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = ((๐ธ + ๐น) + ๐บ))
 
Theoremsumsns 11422* A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
 
Theoremfsumm1 11423* Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด + ๐ต))
 
Theoremfzosump1 11424* Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^(๐‘ + 1))๐ด = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)๐ด + ๐ต))
 
Theoremfsum1p 11425* Separate out the first term in a finite sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)๐ด))
 
Theoremfsumsplitsnun 11426* Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆ‰ ๐ด) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘})๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต + โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
 
Theoremfsump1 11427* The addition of the next term in a finite sum of ๐ด(๐‘˜) is the current term plus ๐ต i.e. ๐ด(๐‘ + 1). (Contributed by NM, 4-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))๐ด = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด + ๐ต))
 
Theoremisumclim 11428* An infinite sum equals the value its series converges to. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremisumclim2 11429* A converging series converges to its infinite sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด)
 
Theoremisumclim3 11430* The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converges to the infinite sum of the series. Note that ๐‘— must not occur in ๐ด. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡ )    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘—)๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด)
 
Theoremsumnul 11431* The sum of a non-convergent infinite series evaluates to the empty set. (Contributed by Paul Chapman, 4-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = โˆ…)
 
Theoremisumcl 11432* The sum of a converging infinite series is a complex number. (Contributed by NM, 13-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚)
 
Theoremisummulc2 11433* An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ต ยท ๐ด))
 
Theoremisummulc1 11434* An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremisumdivapc 11435* An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด / ๐ต))
 
Theoremisumrecl 11436* The sum of a converging infinite real series is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„)
 
Theoremisumge0 11437* An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด)
 
Theoremisumadd 11438* Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด + ๐ต) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต))
 
Theoremsumsplitdc 11439* Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆช ๐ต) โŠ† ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 0))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 0))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช ๐ต)๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
 
Theoremfsump1i 11440* Optimized version of fsump1 11427 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘ = (๐พ + 1)    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ)๐ด = ๐‘†))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘† + ๐ต) = ๐‘‡)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = ๐‘‡))
 
Theoremfsum2dlemstep 11441* Lemma for fsum2d 11442- induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Oct-2022.)
(๐‘ง = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐ท = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ}) โŠ† ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Fin)    &   (๐œ“ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐‘ฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐‘ง โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ ๐‘ฅ ({๐‘—} ร— ๐ต)๐ท)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ})ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐‘ง โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ (๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ})({๐‘—} ร— ๐ต)๐ท)
 
Theoremfsum2d 11442* Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that ๐ต(๐‘—) is a function of ๐‘—. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
(๐‘ง = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐ท = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐‘ง โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ ๐ด ({๐‘—} ร— ๐ต)๐ท)
 
Theoremfsumxp 11443* Combine two sums into a single sum over the cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
(๐‘ง = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐ท = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (๐ด ร— ๐ต)๐ท)
 
Theoremfsumcnv 11444* Transform a region of summation by using the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
(๐‘ฅ = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐ต = ๐ท)    &   (๐‘ฆ = โŸจ๐‘˜, ๐‘—โŸฉ โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Rel ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต = ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ โ—ก ๐ด๐ถ)
 
Theoremfisumcom2 11445* Interchange order of summation. Note that ๐ต(๐‘—) and ๐ท(๐‘˜) are not necessarily constant expressions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ท โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท)))    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ธ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ถ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ท ๐ธ)
 
Theoremfsumcom 11446* Interchange order of summation. (Contributed by NM, 15-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremfsum0diaglem 11447* Lemma for fisum0diag 11448. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
((๐‘— โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
 
Theoremfisum0diag 11448* Two ways to express "the sum of ๐ด(๐‘—, ๐‘˜) over the triangular region ๐‘€ โ‰ค ๐‘—, ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜, ๐‘— + ๐‘˜ โ‰ค ๐‘". (Contributed by NM, 31-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—))๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))๐ด)
 
Theoremmptfzshft 11449* 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ((๐‘€ + ๐พ)...(๐‘ + ๐พ)) โ†ฆ (๐‘— โˆ’ ๐พ)):((๐‘€ + ๐พ)...(๐‘ + ๐พ))โ€“1-1-ontoโ†’(๐‘€...๐‘))
 
Theoremfsumrev 11450* Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘— = (๐พ โˆ’ ๐‘˜) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ โˆ’ ๐‘)...(๐พ โˆ’ ๐‘€))๐ต)
 
Theoremfsumshft 11451* Index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘— = (๐‘˜ โˆ’ ๐พ) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + ๐พ)...(๐‘ + ๐พ))๐ต)
 
Theoremfsumshftm 11452* Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘— = (๐‘˜ + ๐พ) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ โˆ’ ๐พ)...(๐‘ โˆ’ ๐พ))๐ต)
 
Theoremfisumrev2 11453* Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘— = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘˜) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ต)
 
Theoremfisum0diag2 11454* Two ways to express "the sum of ๐ด(๐‘—, ๐‘˜) over the triangular region 0 โ‰ค ๐‘—, 0 โ‰ค ๐‘˜, ๐‘— + ๐‘˜ โ‰ค ๐‘". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
(๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ด)    &   (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—))๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)๐ถ)
 
Theoremfsummulc2 11455* A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ ยท ๐ต))
 
Theoremfsummulc1 11456* A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremfsumdivapc 11457* A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต / ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremfsumneg 11458* Negation of a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด -๐ต = -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsumsub 11459* Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต โˆ’ ๐ถ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ))
 
Theoremfsum2mul 11460* Separate the nested sum of the product ๐ถ(๐‘—) ยท ๐ท(๐‘˜). (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐ถ ยท ๐ท) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ท))
 
Theoremfsumconst 11461* The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
 
Theoremfsumdifsnconst 11462* The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ถ) over an index set excluding a singleton. (Contributed by AV, 7-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ ๐ด โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ต})๐ถ = (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ถ))
 
Theoremmodfsummodlem1 11463* Lemma for modfsummod 11465. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
(โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘ง})๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ค)
 
Theoremmodfsummodlemstep 11464* Induction step for modfsummod 11465. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘ง})๐ต โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต mod ๐‘) mod ๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘ง})๐ต mod ๐‘) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘ง})(๐ต mod ๐‘) mod ๐‘))
 
Theoremmodfsummod 11465* A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต mod ๐‘) mod ๐‘))
 
Theoremfsumge0 11466* If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsumlessfi 11467* A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โŠ† ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ถ ๐ต โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsumge1 11468* A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsum00 11469* A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0 โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0))
 
Theoremfsumle 11470* If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremfsumlt 11471* If every term in one finite sum is less than the corresponding term in another, then the first sum is less than the second. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต < ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต < ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremfsumabs 11472* Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต))
 
Theoremtelfsumo 11473* Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต โˆ’ ๐ถ) = (๐ท โˆ’ ๐ธ))
 
Theoremtelfsumo2 11474* Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐ธ โˆ’ ๐ท))
 
Theoremtelfsum 11475* Sum of a telescoping series. (Contributed by Scott Fenton, 24-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)    &   (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ๐ด = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)(๐ต โˆ’ ๐ถ) = (๐ท โˆ’ ๐ธ))
 
Theoremtelfsum2 11476* Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)    &   (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ๐ด = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)(๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐ธ โˆ’ ๐ท))
 
Theoremfsumparts 11477* Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด = ๐ต โˆง ๐‘‰ = ๐‘Š))    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐‘‰ = ๐‘‹))    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด = ๐ท โˆง ๐‘‰ = ๐‘Œ))    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐‘‰ = ๐‘))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
 
Theoremfsumrelem 11478* Lemma for fsumre 11479, fsumim 11480, and fsumcj 11481. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ๐น:โ„‚โŸถโ„‚    &   ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฆ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐ต))
 
Theoremfsumre 11479* The real part of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (โ„œโ€˜๐ต))
 
Theoremfsumim 11480* The imaginary part of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (โ„‘โ€˜๐ต))
 
Theoremfsumcj 11481* The complex conjugate of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (โˆ—โ€˜๐ต))
 
Theoremiserabs 11482* Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Dec-2022.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โ‡ ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐ต)
 
Theoremcvgcmpub 11483* An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โ‡ ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ด)
 
Theoremfsumiun 11484* Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต๐ถ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
 
Theoremhashiun 11485* The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
 
Theoremhash2iun 11486* The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โ™ฏโ€˜๐ถ))
 
Theoremhash2iun1dif1 11487* The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ๐ต = (๐ด โˆ– {๐‘ฅ})    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ถ) = 1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
 
Theoremhashrabrex 11488* The number of elements in a class abstraction with a restricted existential quantification. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jul-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ ๐œ“} โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ ๐œ“})    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ ๐œ“}) = ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ ๐œ“}))
 
Theoremhashuni 11489* The cardinality of a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
 
4.8.3  The binomial theorem
 
Theorembinomlem 11490* Lemma for binom 11491 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ“ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘ + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
 
Theorembinom 11491* The binomial theorem: (๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ is the sum from ๐‘˜ = 0 to ๐‘ of (๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)). Theorem 15-2.8 of [Gleason] p. 296. This part of the proof sets up the induction and does the base case, with the bulk of the work (the induction step) in binomlem 11490. This is Metamath 100 proof #44. (Contributed by NM, 7-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
 
Theorembinom1p 11492* Special case of the binomial theorem for (1 + ๐ด)โ†‘๐‘. (Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
 
Theorembinom11 11493* Special case of the binomial theorem for 2โ†‘๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘C๐‘˜))
 
Theorembinom1dif 11494* A summation for the difference between ((๐ด + 1)โ†‘๐‘) and (๐ดโ†‘๐‘). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + 1)โ†‘๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
 
Theorembcxmaslem1 11495 Lemma for bcxmas 11496. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.)
(๐ด = ๐ต โ†’ ((๐‘ + ๐ด)C๐ด) = ((๐‘ + ๐ต)C๐ต))
 
Theorembcxmas 11496* Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ + 1) + ๐‘€)C๐‘€) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘ + ๐‘—)C๐‘—))
 
4.8.4  Infinite sums (cont.)
 
Theoremisumshft 11497* Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + ๐พ))    &   (๐‘— = (๐พ + ๐‘˜) โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐‘Š ๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต)
 
Theoremisumsplit 11498* Split off the first ๐‘ terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š ๐ด))
 
Theoremisum1p 11499* The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = ((๐นโ€˜๐‘€) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))๐ด))
 
Theoremisumnn0nn 11500* Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐‘˜ = 0 โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = (๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14801
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >