Type | Label | Description |
Statement |
|
Theorem | isumss2 11401* |
Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements
are in the contained set ๐ด and the added zeroes compose the
rest of
the containing set ๐ต which needs to be summable.
(Contributed by
Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต)
& โข (๐ โ โ๐ โ ๐ต DECID ๐ โ ๐ด)
& โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ((๐ โ โค โง ๐ต โ
(โคโฅโ๐) โง โ๐ โ (โคโฅโ๐)DECID ๐ โ ๐ต) โจ ๐ต โ Fin))
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ = ฮฃ๐ โ ๐ต if(๐ โ ๐ด, ๐ถ, 0)) |
|
Theorem | fsum3cvg2 11402* |
The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum.
(Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon,
2-Dec-2022.)
|
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 0)) & โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ DECID
๐ โ ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ด โ (๐...๐)) โ โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ (seq๐( + , ๐น)โ๐)) |
|
Theorem | fsumsersdc 11403* |
Special case of series sum over a finite upper integer index set.
(Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Jim
Kingdon, 5-May-2023.)
|
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 0)) & โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ DECID
๐ โ ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ด โ (๐...๐)) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = (seq๐( + , ๐น)โ๐)) |
|
Theorem | fsum3cvg3 11404* |
A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐)
& โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ DECID
๐ โ ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 0)) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) |
|
Theorem | fsum3ser 11405* |
A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series.
The recursive definition follows as fsum1 11420 and fsump1 11428, which should
make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 11408, we
will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM,
11-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
|
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = (seq๐( + , ๐น)โ๐)) |
|
Theorem | fsumcl2lem 11406* |
- Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma"
forces the
math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.)
(Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐)
& โข (๐ โ ๐ด โ โ
)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ ๐) |
|
Theorem | fsumcllem 11407* |
- Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma"
forces the
math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.)
(Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
3-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐)
& โข (๐ โ 0 โ ๐) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ ๐) |
|
Theorem | fsumcl 11408* |
Closure of a finite sum of complex numbers ๐ด(๐). (Contributed
by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
|
Theorem | fsumrecl 11409* |
Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
|
Theorem | fsumzcl 11410* |
Closure of a finite sum of integers. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โค)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ โค) |
|
Theorem | fsumnn0cl 11411* |
Closure of a finite sum of nonnegative integers. (Contributed by
Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ
โ0) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ
โ0) |
|
Theorem | fsumrpcl 11412* |
Closure of a finite sum of positive reals. (Contributed by Mario
Carneiro, 3-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ด โ โ
) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ
โ+) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ
โ+) |
|
Theorem | fsumzcl2 11413* |
A finite sum with integer summands is an integer. (Contributed by
Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
|
โข ((๐ด โ Fin โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โค) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ โค) |
|
Theorem | fsumadd 11414* |
The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised
by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต + ๐ถ) = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต + ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ)) |
|
Theorem | fsumsplit 11415* |
Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro,
18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ (๐ด โฉ ๐ต) = โ
) & โข (๐ โ ๐ = (๐ด โช ๐ต)) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ถ = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ)) |
|
Theorem | fsumsplitf 11416* |
Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11415 using
bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.
(Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
|
โข โฒ๐๐
& โข (๐ โ (๐ด โฉ ๐ต) = โ
) & โข (๐ โ ๐ = (๐ด โช ๐ต)) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ถ = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ)) |
|
Theorem | sumsnf 11417* |
A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11419 using
bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.
(Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
|
โข โฒ๐๐ต
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข ((๐ โ ๐ โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ {๐}๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | fsumsplitsn 11418* |
Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi,
5-Apr-2020.)
|
โข โฒ๐๐
& โข โฒ๐๐ท
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐)
& โข (๐ โ ยฌ ๐ต โ ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ = ๐ต โ ๐ถ = ๐ท)
& โข (๐ โ ๐ท โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐ด โช {๐ต})๐ถ = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ + ๐ท)) |
|
Theorem | sumsn 11419* |
A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro,
22-Apr-2014.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข ((๐ โ ๐ โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ {๐}๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | fsum1 11420* |
The finite sum of ๐ด(๐) from ๐ = ๐ to ๐ (i.e. a sum with
only one term) is ๐ต i.e. ๐ด(๐). (Contributed by NM,
8-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | sumpr 11421* |
A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry
Arnoux, 12-Dec-2016.)
|
โข (๐ = ๐ด โ ๐ถ = ๐ท)
& โข (๐ = ๐ต โ ๐ถ = ๐ธ)
& โข (๐ โ (๐ท โ โ โง ๐ธ โ โ)) & โข (๐ โ (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ถ = (๐ท + ๐ธ)) |
|
Theorem | sumtp 11422* |
A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV,
24-Jul-2020.)
|
โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ)
& โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น)
& โข (๐ = ๐ถ โ ๐ท = ๐บ)
& โข (๐ โ (๐ธ โ โ โง ๐น โ โ โง ๐บ โ โ)) & โข (๐ โ (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ โง ๐ถ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต)
& โข (๐ โ ๐ด โ ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ต โ ๐ถ) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = ((๐ธ + ๐น) + ๐บ)) |
|
Theorem | sumsns 11423* |
A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro,
22-Apr-2014.)
|
โข ((๐ โ ๐ โง โฆ๐ / ๐โฆ๐ด โ โ) โ ฮฃ๐ โ {๐}๐ด = โฆ๐ / ๐โฆ๐ด) |
|
Theorem | fsumm1 11424* |
Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario
Carneiro, 26-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = (ฮฃ๐ โ (๐...(๐ โ 1))๐ด + ๐ต)) |
|
Theorem | fzosump1 11425* |
Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario
Carneiro, 13-Apr-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐..^(๐ + 1))๐ด = (ฮฃ๐ โ (๐..^๐)๐ด + ๐ต)) |
|
Theorem | fsum1p 11426* |
Separate out the first term in a finite sum. (Contributed by NM,
3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = (๐ต + ฮฃ๐ โ ((๐ + 1)...๐)๐ด)) |
|
Theorem | fsumsplitsnun 11427* |
Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts.
(Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV,
17-Dec-2021.)
|
โข ((๐ด โ Fin โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ด) โง โ๐ โ (๐ด โช {๐})๐ต โ โค) โ ฮฃ๐ โ (๐ด โช {๐})๐ต = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต + โฆ๐ / ๐โฆ๐ต)) |
|
Theorem | fsump1 11428* |
The addition of the next term in a finite sum of ๐ด(๐) is the
current term plus ๐ต i.e. ๐ด(๐ + 1). (Contributed by NM,
4-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(๐ + 1))) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(๐ + 1))๐ด = (ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด + ๐ต)) |
|
Theorem | isumclim 11429* |
An infinite sum equals the value its series converges to.
(Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | isumclim2 11430* |
A converging series converges to its infinite sum. (Contributed by NM,
2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด) |
|
Theorem | isumclim3 11431* |
The sequence of partial finite sums of a converging infinite series
converges to the infinite sum of the series. Note that ๐ must
not
occur in ๐ด. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
(Revised by Mario
Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐น โ dom โ ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด) โ โข (๐ โ ๐น โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด) |
|
Theorem | sumnul 11432* |
The sum of a non-convergent infinite series evaluates to the empty
set. (Contributed by Paul Chapman, 4-Nov-2007.) (Revised by Mario
Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ยฌ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = โ
) |
|
Theorem | isumcl 11433* |
The sum of a converging infinite series is a complex number.
(Contributed by NM, 13-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด โ โ) |
|
Theorem | isummulc2 11434* |
An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM,
12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (๐ต ยท ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ต ยท ๐ด)) |
|
Theorem | isummulc1 11435* |
An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM,
13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด ยท ๐ต)) |
|
Theorem | isumdivapc 11436* |
An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
(Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | isumrecl 11437* |
The sum of a converging infinite real series is a real number.
(Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด โ โ) |
|
Theorem | isumge0 11438* |
An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by
Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ 0 โค ๐ด) โ โข (๐ โ 0 โค ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด) |
|
Theorem | isumadd 11439* |
Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro,
18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด + ๐ต) = (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด + ฮฃ๐ โ ๐ ๐ต)) |
|
Theorem | sumsplitdc 11440* |
Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro,
18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ (๐ด โฉ ๐ต) = โ
) & โข (๐ โ (๐ด โช ๐ต) โ ๐)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ DECID ๐ โ ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ DECID ๐ โ ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ถ, 0)) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = if(๐ โ ๐ต, ๐ถ, 0)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐ด โช ๐ต)) โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐ด โช ๐ต)๐ถ = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ)) |
|
Theorem | fsump1i 11441* |
Optimized version of fsump1 11428 for making sums of a concrete number of
terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข ๐ = (๐พ + 1) & โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ (๐พ โ ๐ โง ฮฃ๐ โ (๐...๐พ)๐ด = ๐)) & โข (๐ โ (๐ + ๐ต) = ๐) โ โข (๐ โ (๐ โ ๐ โง ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ๐)) |
|
Theorem | fsum2dlemstep 11442* |
Lemma for fsum2d 11443- induction step. (Contributed by Mario
Carneiro,
23-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Oct-2022.)
|
โข (๐ง = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ท = ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ยฌ ๐ฆ โ ๐ฅ)
& โข (๐ โ (๐ฅ โช {๐ฆ}) โ ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ฅ โ Fin) & โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ฅ ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ง โ โช
๐ โ ๐ฅ ({๐} ร ๐ต)๐ท) โ โข ((๐ โง ๐) โ ฮฃ๐ โ (๐ฅ โช {๐ฆ})ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ง โ โช
๐ โ (๐ฅ โช {๐ฆ})({๐} ร ๐ต)๐ท) |
|
Theorem | fsum2d 11443* |
Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that
๐ต(๐) is a function of ๐.
(Contributed by Mario Carneiro,
27-Apr-2014.)
|
โข (๐ง = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ท = ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ง โ โช
๐ โ ๐ด ({๐} ร ๐ต)๐ท) |
|
Theorem | fsumxp 11444* |
Combine two sums into a single sum over the cartesian product.
(Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข (๐ง = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ท = ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ง โ (๐ด ร ๐ต)๐ท) |
|
Theorem | fsumcnv 11445* |
Transform a region of summation by using the converse operation.
(Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข (๐ฅ = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ต = ๐ท)
& โข (๐ฆ = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ถ = ๐ท)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ Rel ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ๐ต = ฮฃ๐ฆ โ โก ๐ด๐ถ) |
|
Theorem | fisumcom2 11446* |
Interchange order of summation. Note that ๐ต(๐) and ๐ท(๐)
are not necessarily constant expressions. (Contributed by Mario
Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
(Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ถ โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ถ) โ ๐ท โ Fin) & โข (๐ โ ((๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ท))) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ธ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ธ = ฮฃ๐ โ ๐ถ ฮฃ๐ โ ๐ท ๐ธ) |
|
Theorem | fsumcom 11447* |
Interchange order of summation. (Contributed by NM, 15-Nov-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ โ ๐ต ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ) |
|
Theorem | fsum0diaglem 11448* |
Lemma for fisum0diag 11449. (Contributed by Mario Carneiro,
28-Apr-2014.)
(Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
|
โข ((๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(๐ โ ๐))) โ (๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(๐ โ ๐)))) |
|
Theorem | fisum0diag 11449* |
Two ways to express "the sum of ๐ด(๐, ๐) over the triangular
region ๐ โค ๐, ๐ โค ๐, ๐ + ๐ โค ๐". (Contributed by NM,
31-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
(Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
|
โข ((๐ โง (๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(๐ โ ๐)))) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โค)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ ๐))๐ด = ฮฃ๐ โ (0...๐)ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ ๐))๐ด) |
|
Theorem | mptfzshft 11450* |
1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of
sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
|
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค)
โ โข (๐ โ (๐ โ ((๐ + ๐พ)...(๐ + ๐พ)) โฆ (๐ โ ๐พ)):((๐ + ๐พ)...(๐ + ๐พ))โ1-1-ontoโ(๐...๐)) |
|
Theorem | fsumrev 11451* |
Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005.) (Revised
by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = (๐พ โ ๐) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ฮฃ๐ โ ((๐พ โ ๐)...(๐พ โ ๐))๐ต) |
|
Theorem | fsumshft 11452* |
Index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by AV,
8-Sep-2019.)
|
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = (๐ โ ๐พ) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ฮฃ๐ โ ((๐ + ๐พ)...(๐ + ๐พ))๐ต) |
|
Theorem | fsumshftm 11453* |
Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM,
28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = (๐ + ๐พ) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ฮฃ๐ โ ((๐ โ ๐พ)...(๐ โ ๐พ))๐ต) |
|
Theorem | fisumrev2 11454* |
Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised
by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = ((๐ + ๐) โ ๐) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ต) |
|
Theorem | fisum0diag2 11455* |
Two ways to express "the sum of ๐ด(๐, ๐) over the triangular
region 0 โค ๐, 0 โค ๐, ๐ + ๐ โค ๐". (Contributed by
Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
|
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ต = ๐ด)
& โข (๐ฅ = (๐ โ ๐) โ ๐ต = ๐ถ)
& โข ((๐ โง (๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(๐ โ ๐)))) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โค)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ ๐))๐ด = ฮฃ๐ โ (0...๐)ฮฃ๐ โ (0...๐)๐ถ) |
|
Theorem | fsummulc2 11456* |
A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM,
12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (๐ถ ยท ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ถ ยท ๐ต)) |
|
Theorem | fsummulc1 11457* |
A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM,
13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) |
|
Theorem | fsumdivapc 11458* |
A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
(Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต / ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต / ๐ถ)) |
|
Theorem | fsumneg 11459* |
Negation of a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
(Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด -๐ต = -ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) |
|
Theorem | fsumsub 11460* |
Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton,
12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต โ ๐ถ) = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ)) |
|
Theorem | fsum2mul 11461* |
Separate the nested sum of the product ๐ถ(๐) ยท ๐ท(๐).
(Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ท โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต (๐ถ ยท ๐ท) = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ท)) |
|
Theorem | fsumconst 11462* |
The sum of constant terms (๐ is not free in ๐ต). (Contributed
by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต)) |
|
Theorem | fsumdifsnconst 11463* |
The sum of constant terms (๐ is not free in ๐ถ) over an index
set excluding a singleton. (Contributed by AV, 7-Jan-2022.)
|
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ ๐ด โง ๐ถ โ โ) โ ฮฃ๐ โ (๐ด โ {๐ต})๐ถ = (((โฏโ๐ด) โ 1) ยท ๐ถ)) |
|
Theorem | modfsummodlem1 11464* |
Lemma for modfsummod 11466. (Contributed by Alexander van der Vekens,
1-Sep-2018.)
|
โข (โ๐ โ (๐ด โช {๐ง})๐ต โ โค โ โฆ๐ง / ๐โฆ๐ต โ โค) |
|
Theorem | modfsummodlemstep 11465* |
Induction step for modfsummod 11466. (Contributed by Alexander van der
Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โช {๐ง})๐ต โ โค) & โข (๐ โ ยฌ ๐ง โ ๐ด)
& โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต mod ๐) = (ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต mod ๐) mod ๐)) โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐ด โช {๐ง})๐ต mod ๐) = (ฮฃ๐ โ (๐ด โช {๐ง})(๐ต mod ๐) mod ๐)) |
|
Theorem | modfsummod 11466* |
A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their
summands modulo the positive integer, modulo the positive integer.
(Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
|
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โค)
โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต mod ๐) = (ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต mod ๐) mod ๐)) |
|
Theorem | fsumge0 11467* |
If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum.
(Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ 0 โค ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) |
|
Theorem | fsumlessfi 11468* |
A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one.
(Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon,
12-Oct-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต)
& โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ถ โ Fin) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ถ ๐ต โค ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) |
|
Theorem | fsumge1 11469* |
A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of
its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof
shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ต = ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ โ ๐ด) โ โข (๐ โ ๐ถ โค ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) |
|
Theorem | fsum00 11470* |
A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero.
(Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario
Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = 0 โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = 0)) |
|
Theorem | fsumle 11471* |
If all of the terms of finite sums compare, so do the sums.
(Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โค ๐ถ) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โค ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ) |
|
Theorem | fsumlt 11472* |
If every term in one finite sum is less than the corresponding term in
another, then the first sum is less than the second. (Contributed by
Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ด โ โ
) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต < ๐ถ) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต < ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ) |
|
Theorem | fsumabs 11473* |
Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is
less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM,
9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (absโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) โค ฮฃ๐ โ ๐ด (absโ๐ต)) |
|
Theorem | telfsumo 11474* |
Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by
Mario Carneiro, 2-May-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ถ)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ท)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ธ)
& โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐..^๐)(๐ต โ ๐ถ) = (๐ท โ ๐ธ)) |
|
Theorem | telfsumo2 11475* |
Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro,
2-May-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ถ)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ท)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ธ)
& โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐..^๐)(๐ถ โ ๐ต) = (๐ธ โ ๐ท)) |
|
Theorem | telfsum 11476* |
Sum of a telescoping series. (Contributed by Scott Fenton,
24-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ถ)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ท)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ธ)
& โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ (๐ + 1) โ
(โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(๐ + 1))) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)(๐ต โ ๐ถ) = (๐ท โ ๐ธ)) |
|
Theorem | telfsum2 11477* |
Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro,
15-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ถ)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ท)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ธ)
& โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ (๐ + 1) โ
(โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(๐ + 1))) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)(๐ถ โ ๐ต) = (๐ธ โ ๐ท)) |
|
Theorem | fsumparts 11478* |
Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ (๐ด = ๐ต โง ๐ = ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ = ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ด = ๐ท โง ๐ = ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ด = ๐ธ โง ๐ = ๐)) & โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐..^๐)(๐ต ยท (๐ โ ๐)) = (((๐ธ ยท ๐) โ (๐ท ยท ๐)) โ ฮฃ๐ โ (๐..^๐)((๐ถ โ ๐ต) ยท ๐))) |
|
Theorem | fsumrelem 11479* |
Lemma for fsumre 11480, fsumim 11481, and fsumcj 11482. (Contributed by Mario
Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ๐น:โโถโ & โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐นโ(๐ฅ + ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) + (๐นโ๐ฆ))) โ โข (๐ โ (๐นโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐นโ๐ต)) |
|
Theorem | fsumre 11480* |
The real part of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.)
(Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (โโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (โโ๐ต)) |
|
Theorem | fsumim 11481* |
The imaginary part of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.)
(Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (โโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (โโ๐ต)) |
|
Theorem | fsumcj 11482* |
The complex conjugate of a sum. (Contributed by Paul Chapman,
9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (โโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (โโ๐ต)) |
|
Theorem | iserabs 11483* |
Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum
is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by
Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Dec-2022.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ๐ด)
& โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ ๐ต)
& โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = (absโ(๐นโ๐))) โ โข (๐ โ (absโ๐ด) โค ๐ต) |
|
Theorem | cvgcmpub 11484* |
An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem
can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario
Carneiro, 24-Mar-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ ๐)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ๐ด)
& โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โค (๐นโ๐)) โ โข (๐ โ ๐ต โค ๐ด) |
|
Theorem | fsumiun 11485* |
Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro,
1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ต)
& โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โช
๐ฅ โ ๐ด ๐ต๐ถ = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ) |
|
Theorem | hashiun 11486* |
The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario
Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) โ โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (โฏโ๐ต)) |
|
Theorem | hash2iun 11487* |
The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV,
9-Jan-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ ๐ถ โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ)
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ Disj ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) โ โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ฆ โ ๐ต (โฏโ๐ถ)) |
|
Theorem | hash2iun1dif1 11488* |
The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV,
9-Jan-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ๐ต = (๐ด โ {๐ฅ})
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ ๐ถ โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ)
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ Disj ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ)
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (โฏโ๐ถ) = 1) โ โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) = ((โฏโ๐ด) ยท ((โฏโ๐ด) โ 1))) |
|
Theorem | hashrabrex 11489* |
The number of elements in a class abstraction with a restricted
existential quantification. (Contributed by Alexander van der Vekens,
29-Jul-2018.)
|
โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฆ โ ๐) โ {๐ฅ โ ๐ โฃ ๐} โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฆ โ ๐ {๐ฅ โ ๐ โฃ ๐}) โ โข (๐ โ (โฏโ{๐ฅ โ ๐ โฃ โ๐ฆ โ ๐ ๐}) = ฮฃ๐ฆ โ ๐ (โฏโ{๐ฅ โ ๐ โฃ ๐})) |
|
Theorem | hashuni 11490* |
The cardinality of a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro,
24-Jan-2015.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ฅ) โ โข (๐ โ (โฏโโช ๐ด)
= ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (โฏโ๐ฅ)) |
|
4.8.3 The binomial theorem
|
|
Theorem | binomlem 11491* |
Lemma for binom 11492 (binomial theorem). Inductive step.
(Contributed by
NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต)โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) โ โข ((๐ โง ๐) โ ((๐ด + ๐ต)โ(๐ + 1)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))(((๐ + 1)C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
|
Theorem | binom 11492* |
The binomial theorem: (๐ด + ๐ต)โ๐ is the sum from ๐ = 0 to
๐ of (๐C๐) ยท ((๐ดโ๐) ยท (๐ตโ(๐ โ ๐)). Theorem
15-2.8 of [Gleason] p. 296. This part
of the proof sets up the
induction and does the base case, with the bulk of the work (the
induction step) in binomlem 11491. This is Metamath 100 proof #44.
(Contributed by NM, 7-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ด + ๐ต)โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
|
Theorem | binom1p 11493* |
Special case of the binomial theorem for (1 + ๐ด)โ๐.
(Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ ((1 +
๐ด)โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท (๐ดโ๐))) |
|
Theorem | binom11 11494* |
Special case of the binomial theorem for 2โ๐. (Contributed by
Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
|
โข (๐ โ โ0 โ
(2โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)(๐C๐)) |
|
Theorem | binom1dif 11495* |
A summation for the difference between ((๐ด + 1)โ๐) and
(๐ดโ๐). (Contributed by Scott Fenton,
9-Apr-2014.) (Revised by
Mario Carneiro, 22-May-2014.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ
(((๐ด + 1)โ๐) โ (๐ดโ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))((๐C๐) ยท (๐ดโ๐))) |
|
Theorem | bcxmaslem1 11496 |
Lemma for bcxmas 11497. (Contributed by Paul Chapman,
18-May-2007.)
|
โข (๐ด = ๐ต โ ((๐ + ๐ด)C๐ด) = ((๐ + ๐ต)C๐ต)) |
|
Theorem | bcxmas 11497* |
Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle.
(Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)
โ (((๐ + 1) + ๐)C๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐ + ๐)C๐)) |
|
4.8.4 Infinite sums (cont.)
|
|
Theorem | isumshft 11498* |
Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman,
31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข ๐ =
(โคโฅโ(๐ + ๐พ)) & โข (๐ = (๐พ + ๐) โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = ฮฃ๐ โ ๐ ๐ต) |
|
Theorem | isumsplit 11499* |
Split off the first ๐ terms of an infinite sum.
(Contributed by
Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข ๐ =
(โคโฅโ๐)
& โข (๐ โ ๐ โ ๐)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = (ฮฃ๐ โ (๐...(๐ โ 1))๐ด + ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด)) |
|
Theorem | isum1p 11500* |
The infinite sum of a converging infinite series equals the first term
plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM,
2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = ((๐นโ๐) + ฮฃ๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))๐ด)) |