Type | Label | Description |
Statement |
|
Theorem | fsum3cvg2 11401* |
The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum.
(Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon,
2-Dec-2022.)
|
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 0)) & โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ DECID
๐ โ ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ด โ (๐...๐)) โ โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ (seq๐( + , ๐น)โ๐)) |
|
Theorem | fsumsersdc 11402* |
Special case of series sum over a finite upper integer index set.
(Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Jim
Kingdon, 5-May-2023.)
|
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 0)) & โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ DECID
๐ โ ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ด โ (๐...๐)) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = (seq๐( + , ๐น)โ๐)) |
|
Theorem | fsum3cvg3 11403* |
A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐)
& โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ DECID
๐ โ ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 0)) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) |
|
Theorem | fsum3ser 11404* |
A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series.
The recursive definition follows as fsum1 11419 and fsump1 11427, which should
make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 11407, we
will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM,
11-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
|
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = (seq๐( + , ๐น)โ๐)) |
|
Theorem | fsumcl2lem 11405* |
- Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma"
forces the
math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.)
(Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐)
& โข (๐ โ ๐ด โ โ
)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ ๐) |
|
Theorem | fsumcllem 11406* |
- Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma"
forces the
math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.)
(Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
3-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐)
& โข (๐ โ 0 โ ๐) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ ๐) |
|
Theorem | fsumcl 11407* |
Closure of a finite sum of complex numbers ๐ด(๐). (Contributed
by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
|
Theorem | fsumrecl 11408* |
Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
|
Theorem | fsumzcl 11409* |
Closure of a finite sum of integers. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โค)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ โค) |
|
Theorem | fsumnn0cl 11410* |
Closure of a finite sum of nonnegative integers. (Contributed by
Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ
โ0) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ
โ0) |
|
Theorem | fsumrpcl 11411* |
Closure of a finite sum of positive reals. (Contributed by Mario
Carneiro, 3-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ด โ โ
) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ
โ+) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ
โ+) |
|
Theorem | fsumzcl2 11412* |
A finite sum with integer summands is an integer. (Contributed by
Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
|
โข ((๐ด โ Fin โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โค) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ โค) |
|
Theorem | fsumadd 11413* |
The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised
by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต + ๐ถ) = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต + ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ)) |
|
Theorem | fsumsplit 11414* |
Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro,
18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ (๐ด โฉ ๐ต) = โ
) & โข (๐ โ ๐ = (๐ด โช ๐ต)) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ถ = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ)) |
|
Theorem | fsumsplitf 11415* |
Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11414 using
bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.
(Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
|
โข โฒ๐๐
& โข (๐ โ (๐ด โฉ ๐ต) = โ
) & โข (๐ โ ๐ = (๐ด โช ๐ต)) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ถ = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ)) |
|
Theorem | sumsnf 11416* |
A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11418 using
bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.
(Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
|
โข โฒ๐๐ต
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข ((๐ โ ๐ โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ {๐}๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | fsumsplitsn 11417* |
Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi,
5-Apr-2020.)
|
โข โฒ๐๐
& โข โฒ๐๐ท
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐)
& โข (๐ โ ยฌ ๐ต โ ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ = ๐ต โ ๐ถ = ๐ท)
& โข (๐ โ ๐ท โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐ด โช {๐ต})๐ถ = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ + ๐ท)) |
|
Theorem | sumsn 11418* |
A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro,
22-Apr-2014.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข ((๐ โ ๐ โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ {๐}๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | fsum1 11419* |
The finite sum of ๐ด(๐) from ๐ = ๐ to ๐ (i.e. a sum with
only one term) is ๐ต i.e. ๐ด(๐). (Contributed by NM,
8-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | sumpr 11420* |
A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry
Arnoux, 12-Dec-2016.)
|
โข (๐ = ๐ด โ ๐ถ = ๐ท)
& โข (๐ = ๐ต โ ๐ถ = ๐ธ)
& โข (๐ โ (๐ท โ โ โง ๐ธ โ โ)) & โข (๐ โ (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ถ = (๐ท + ๐ธ)) |
|
Theorem | sumtp 11421* |
A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV,
24-Jul-2020.)
|
โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ)
& โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น)
& โข (๐ = ๐ถ โ ๐ท = ๐บ)
& โข (๐ โ (๐ธ โ โ โง ๐น โ โ โง ๐บ โ โ)) & โข (๐ โ (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ โง ๐ถ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต)
& โข (๐ โ ๐ด โ ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ต โ ๐ถ) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = ((๐ธ + ๐น) + ๐บ)) |
|
Theorem | sumsns 11422* |
A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro,
22-Apr-2014.)
|
โข ((๐ โ ๐ โง โฆ๐ / ๐โฆ๐ด โ โ) โ ฮฃ๐ โ {๐}๐ด = โฆ๐ / ๐โฆ๐ด) |
|
Theorem | fsumm1 11423* |
Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario
Carneiro, 26-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = (ฮฃ๐ โ (๐...(๐ โ 1))๐ด + ๐ต)) |
|
Theorem | fzosump1 11424* |
Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario
Carneiro, 13-Apr-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐..^(๐ + 1))๐ด = (ฮฃ๐ โ (๐..^๐)๐ด + ๐ต)) |
|
Theorem | fsum1p 11425* |
Separate out the first term in a finite sum. (Contributed by NM,
3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = (๐ต + ฮฃ๐ โ ((๐ + 1)...๐)๐ด)) |
|
Theorem | fsumsplitsnun 11426* |
Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts.
(Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV,
17-Dec-2021.)
|
โข ((๐ด โ Fin โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ด) โง โ๐ โ (๐ด โช {๐})๐ต โ โค) โ ฮฃ๐ โ (๐ด โช {๐})๐ต = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต + โฆ๐ / ๐โฆ๐ต)) |
|
Theorem | fsump1 11427* |
The addition of the next term in a finite sum of ๐ด(๐) is the
current term plus ๐ต i.e. ๐ด(๐ + 1). (Contributed by NM,
4-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(๐ + 1))) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(๐ + 1))๐ด = (ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด + ๐ต)) |
|
Theorem | isumclim 11428* |
An infinite sum equals the value its series converges to.
(Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | isumclim2 11429* |
A converging series converges to its infinite sum. (Contributed by NM,
2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด) |
|
Theorem | isumclim3 11430* |
The sequence of partial finite sums of a converging infinite series
converges to the infinite sum of the series. Note that ๐ must
not
occur in ๐ด. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
(Revised by Mario
Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐น โ dom โ ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด) โ โข (๐ โ ๐น โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด) |
|
Theorem | sumnul 11431* |
The sum of a non-convergent infinite series evaluates to the empty
set. (Contributed by Paul Chapman, 4-Nov-2007.) (Revised by Mario
Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ยฌ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = โ
) |
|
Theorem | isumcl 11432* |
The sum of a converging infinite series is a complex number.
(Contributed by NM, 13-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด โ โ) |
|
Theorem | isummulc2 11433* |
An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM,
12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (๐ต ยท ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ต ยท ๐ด)) |
|
Theorem | isummulc1 11434* |
An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM,
13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด ยท ๐ต)) |
|
Theorem | isumdivapc 11435* |
An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
(Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | isumrecl 11436* |
The sum of a converging infinite real series is a real number.
(Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด โ โ) |
|
Theorem | isumge0 11437* |
An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by
Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ 0 โค ๐ด) โ โข (๐ โ 0 โค ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด) |
|
Theorem | isumadd 11438* |
Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro,
18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด + ๐ต) = (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด + ฮฃ๐ โ ๐ ๐ต)) |
|
Theorem | sumsplitdc 11439* |
Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro,
18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ (๐ด โฉ ๐ต) = โ
) & โข (๐ โ (๐ด โช ๐ต) โ ๐)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ DECID ๐ โ ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ DECID ๐ โ ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ถ, 0)) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = if(๐ โ ๐ต, ๐ถ, 0)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐ด โช ๐ต)) โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐ด โช ๐ต)๐ถ = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ + ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ)) |
|
Theorem | fsump1i 11440* |
Optimized version of fsump1 11427 for making sums of a concrete number of
terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข ๐ = (๐พ + 1) & โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ (๐พ โ ๐ โง ฮฃ๐ โ (๐...๐พ)๐ด = ๐)) & โข (๐ โ (๐ + ๐ต) = ๐) โ โข (๐ โ (๐ โ ๐ โง ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ๐)) |
|
Theorem | fsum2dlemstep 11441* |
Lemma for fsum2d 11442- induction step. (Contributed by Mario
Carneiro,
23-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Oct-2022.)
|
โข (๐ง = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ท = ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ยฌ ๐ฆ โ ๐ฅ)
& โข (๐ โ (๐ฅ โช {๐ฆ}) โ ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ฅ โ Fin) & โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ฅ ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ง โ โช
๐ โ ๐ฅ ({๐} ร ๐ต)๐ท) โ โข ((๐ โง ๐) โ ฮฃ๐ โ (๐ฅ โช {๐ฆ})ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ง โ โช
๐ โ (๐ฅ โช {๐ฆ})({๐} ร ๐ต)๐ท) |
|
Theorem | fsum2d 11442* |
Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that
๐ต(๐) is a function of ๐.
(Contributed by Mario Carneiro,
27-Apr-2014.)
|
โข (๐ง = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ท = ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ง โ โช
๐ โ ๐ด ({๐} ร ๐ต)๐ท) |
|
Theorem | fsumxp 11443* |
Combine two sums into a single sum over the cartesian product.
(Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข (๐ง = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ท = ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ง โ (๐ด ร ๐ต)๐ท) |
|
Theorem | fsumcnv 11444* |
Transform a region of summation by using the converse operation.
(Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข (๐ฅ = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ต = ๐ท)
& โข (๐ฆ = โจ๐, ๐โฉ โ ๐ถ = ๐ท)
& โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ Rel ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ๐ต = ฮฃ๐ฆ โ โก ๐ด๐ถ) |
|
Theorem | fisumcom2 11445* |
Interchange order of summation. Note that ๐ต(๐) and ๐ท(๐)
are not necessarily constant expressions. (Contributed by Mario
Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
(Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ถ โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ถ) โ ๐ท โ Fin) & โข (๐ โ ((๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ท))) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ธ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ธ = ฮฃ๐ โ ๐ถ ฮฃ๐ โ ๐ท ๐ธ) |
|
Theorem | fsumcom 11446* |
Interchange order of summation. (Contributed by NM, 15-Nov-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ = ฮฃ๐ โ ๐ต ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ) |
|
Theorem | fsum0diaglem 11447* |
Lemma for fisum0diag 11448. (Contributed by Mario Carneiro,
28-Apr-2014.)
(Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
|
โข ((๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(๐ โ ๐))) โ (๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(๐ โ ๐)))) |
|
Theorem | fisum0diag 11448* |
Two ways to express "the sum of ๐ด(๐, ๐) over the triangular
region ๐ โค ๐, ๐ โค ๐, ๐ + ๐ โค ๐". (Contributed by NM,
31-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
(Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
|
โข ((๐ โง (๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(๐ โ ๐)))) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โค)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ ๐))๐ด = ฮฃ๐ โ (0...๐)ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ ๐))๐ด) |
|
Theorem | mptfzshft 11449* |
1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of
sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
|
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค)
โ โข (๐ โ (๐ โ ((๐ + ๐พ)...(๐ + ๐พ)) โฆ (๐ โ ๐พ)):((๐ + ๐พ)...(๐ + ๐พ))โ1-1-ontoโ(๐...๐)) |
|
Theorem | fsumrev 11450* |
Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005.) (Revised
by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = (๐พ โ ๐) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ฮฃ๐ โ ((๐พ โ ๐)...(๐พ โ ๐))๐ต) |
|
Theorem | fsumshft 11451* |
Index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by AV,
8-Sep-2019.)
|
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = (๐ โ ๐พ) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ฮฃ๐ โ ((๐ + ๐พ)...(๐ + ๐พ))๐ต) |
|
Theorem | fsumshftm 11452* |
Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM,
28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = (๐ + ๐พ) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ฮฃ๐ โ ((๐ โ ๐พ)...(๐ โ ๐พ))๐ต) |
|
Theorem | fisumrev2 11453* |
Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised
by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ = ((๐ + ๐) โ ๐) โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ด = ฮฃ๐ โ (๐...๐)๐ต) |
|
Theorem | fisum0diag2 11454* |
Two ways to express "the sum of ๐ด(๐, ๐) over the triangular
region 0 โค ๐, 0 โค ๐, ๐ + ๐ โค ๐". (Contributed by
Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
|
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ต = ๐ด)
& โข (๐ฅ = (๐ โ ๐) โ ๐ต = ๐ถ)
& โข ((๐ โง (๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(๐ โ ๐)))) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โค)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ ๐))๐ด = ฮฃ๐ โ (0...๐)ฮฃ๐ โ (0...๐)๐ถ) |
|
Theorem | fsummulc2 11455* |
A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM,
12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (๐ถ ยท ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ถ ยท ๐ต)) |
|
Theorem | fsummulc1 11456* |
A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM,
13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) |
|
Theorem | fsumdivapc 11457* |
A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
(Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต / ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต / ๐ถ)) |
|
Theorem | fsumneg 11458* |
Negation of a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
(Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด -๐ต = -ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) |
|
Theorem | fsumsub 11459* |
Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton,
12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต โ ๐ถ) = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ)) |
|
Theorem | fsum2mul 11460* |
Separate the nested sum of the product ๐ถ(๐) ยท ๐ท(๐).
(Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ท โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต (๐ถ ยท ๐ท) = (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ ยท ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ท)) |
|
Theorem | fsumconst 11461* |
The sum of constant terms (๐ is not free in ๐ต). (Contributed
by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต)) |
|
Theorem | fsumdifsnconst 11462* |
The sum of constant terms (๐ is not free in ๐ถ) over an index
set excluding a singleton. (Contributed by AV, 7-Jan-2022.)
|
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ ๐ด โง ๐ถ โ โ) โ ฮฃ๐ โ (๐ด โ {๐ต})๐ถ = (((โฏโ๐ด) โ 1) ยท ๐ถ)) |
|
Theorem | modfsummodlem1 11463* |
Lemma for modfsummod 11465. (Contributed by Alexander van der Vekens,
1-Sep-2018.)
|
โข (โ๐ โ (๐ด โช {๐ง})๐ต โ โค โ โฆ๐ง / ๐โฆ๐ต โ โค) |
|
Theorem | modfsummodlemstep 11464* |
Induction step for modfsummod 11465. (Contributed by Alexander van der
Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โช {๐ง})๐ต โ โค) & โข (๐ โ ยฌ ๐ง โ ๐ด)
& โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต mod ๐) = (ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต mod ๐) mod ๐)) โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐ด โช {๐ง})๐ต mod ๐) = (ฮฃ๐ โ (๐ด โช {๐ง})(๐ต mod ๐) mod ๐)) |
|
Theorem | modfsummod 11465* |
A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their
summands modulo the positive integer, modulo the positive integer.
(Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
|
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โค)
โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต mod ๐) = (ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต mod ๐) mod ๐)) |
|
Theorem | fsumge0 11466* |
If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum.
(Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ 0 โค ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) |
|
Theorem | fsumlessfi 11467* |
A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one.
(Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon,
12-Oct-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต)
& โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ถ โ Fin) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ถ ๐ต โค ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) |
|
Theorem | fsumge1 11468* |
A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of
its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof
shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ต = ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ โ ๐ด) โ โข (๐ โ ๐ถ โค ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) |
|
Theorem | fsum00 11469* |
A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero.
(Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario
Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = 0 โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = 0)) |
|
Theorem | fsumle 11470* |
If all of the terms of finite sums compare, so do the sums.
(Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โค ๐ถ) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต โค ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ) |
|
Theorem | fsumlt 11471* |
If every term in one finite sum is less than the corresponding term in
another, then the first sum is less than the second. (Contributed by
Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ด โ โ
) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต < ๐ถ) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต < ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ถ) |
|
Theorem | fsumabs 11472* |
Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is
less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM,
9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (absโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) โค ฮฃ๐ โ ๐ด (absโ๐ต)) |
|
Theorem | telfsumo 11473* |
Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by
Mario Carneiro, 2-May-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ถ)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ท)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ธ)
& โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐..^๐)(๐ต โ ๐ถ) = (๐ท โ ๐ธ)) |
|
Theorem | telfsumo2 11474* |
Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro,
2-May-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ถ)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ท)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ธ)
& โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐..^๐)(๐ถ โ ๐ต) = (๐ธ โ ๐ท)) |
|
Theorem | telfsum 11475* |
Sum of a telescoping series. (Contributed by Scott Fenton,
24-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ถ)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ท)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ธ)
& โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ (๐ + 1) โ
(โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(๐ + 1))) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)(๐ต โ ๐ถ) = (๐ท โ ๐ธ)) |
|
Theorem | telfsum2 11476* |
Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro,
15-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ถ)
& โข (๐ = ๐ โ ๐ด = ๐ท)
& โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ด = ๐ธ)
& โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ (๐ + 1) โ
(โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(๐ + 1))) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...๐)(๐ถ โ ๐ต) = (๐ธ โ ๐ท)) |
|
Theorem | fsumparts 11477* |
Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
|
โข (๐ = ๐ โ (๐ด = ๐ต โง ๐ = ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ = ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ด = ๐ท โง ๐ = ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ด = ๐ธ โง ๐ = ๐)) & โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ ๐ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐..^๐)(๐ต ยท (๐ โ ๐)) = (((๐ธ ยท ๐) โ (๐ท ยท ๐)) โ ฮฃ๐ โ (๐..^๐)((๐ถ โ ๐ต) ยท ๐))) |
|
Theorem | fsumrelem 11478* |
Lemma for fsumre 11479, fsumim 11480, and fsumcj 11481. (Contributed by Mario
Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ๐น:โโถโ & โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐นโ(๐ฅ + ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) + (๐นโ๐ฆ))) โ โข (๐ โ (๐นโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐นโ๐ต)) |
|
Theorem | fsumre 11479* |
The real part of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.)
(Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (โโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (โโ๐ต)) |
|
Theorem | fsumim 11480* |
The imaginary part of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.)
(Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (โโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (โโ๐ต)) |
|
Theorem | fsumcj 11481* |
The complex conjugate of a sum. (Contributed by Paul Chapman,
9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ (โโฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ด (โโ๐ต)) |
|
Theorem | iserabs 11482* |
Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum
is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by
Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Dec-2022.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ๐ด)
& โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ ๐ต)
& โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = (absโ(๐นโ๐))) โ โข (๐ โ (absโ๐ด) โค ๐ต) |
|
Theorem | cvgcmpub 11483* |
An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem
can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario
Carneiro, 24-Mar-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ ๐)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ ๐ด)
& โข (๐ โ seq๐( + , ๐บ) โ ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โค (๐นโ๐)) โ โข (๐ โ ๐ต โค ๐ด) |
|
Theorem | fsumiun 11484* |
Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro,
1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ต)
& โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โช
๐ฅ โ ๐ด ๐ต๐ถ = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ) |
|
Theorem | hashiun 11485* |
The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario
Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) โ โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (โฏโ๐ต)) |
|
Theorem | hash2iun 11486* |
The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV,
9-Jan-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ ๐ถ โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ)
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ Disj ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) โ โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ฆ โ ๐ต (โฏโ๐ถ)) |
|
Theorem | hash2iun1dif1 11487* |
The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV,
9-Jan-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ๐ต = (๐ด โ {๐ฅ})
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ ๐ถ โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ)
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ Disj ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ)
& โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (โฏโ๐ถ) = 1) โ โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) = ((โฏโ๐ด) ยท ((โฏโ๐ด) โ 1))) |
|
Theorem | hashrabrex 11488* |
The number of elements in a class abstraction with a restricted
existential quantification. (Contributed by Alexander van der Vekens,
29-Jul-2018.)
|
โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฆ โ ๐) โ {๐ฅ โ ๐ โฃ ๐} โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฆ โ ๐ {๐ฅ โ ๐ โฃ ๐}) โ โข (๐ โ (โฏโ{๐ฅ โ ๐ โฃ โ๐ฆ โ ๐ ๐}) = ฮฃ๐ฆ โ ๐ (โฏโ{๐ฅ โ ๐ โฃ ๐})) |
|
Theorem | hashuni 11489* |
The cardinality of a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro,
24-Jan-2015.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ฅ) โ โข (๐ โ (โฏโโช ๐ด)
= ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (โฏโ๐ฅ)) |
|
4.8.3 The binomial theorem
|
|
Theorem | binomlem 11490* |
Lemma for binom 11491 (binomial theorem). Inductive step.
(Contributed by
NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต)โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) โ โข ((๐ โง ๐) โ ((๐ด + ๐ต)โ(๐ + 1)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))(((๐ + 1)C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
|
Theorem | binom 11491* |
The binomial theorem: (๐ด + ๐ต)โ๐ is the sum from ๐ = 0 to
๐ of (๐C๐) ยท ((๐ดโ๐) ยท (๐ตโ(๐ โ ๐)). Theorem
15-2.8 of [Gleason] p. 296. This part
of the proof sets up the
induction and does the base case, with the bulk of the work (the
induction step) in binomlem 11490. This is Metamath 100 proof #44.
(Contributed by NM, 7-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ด + ๐ต)โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
|
Theorem | binom1p 11492* |
Special case of the binomial theorem for (1 + ๐ด)โ๐.
(Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ ((1 +
๐ด)โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท (๐ดโ๐))) |
|
Theorem | binom11 11493* |
Special case of the binomial theorem for 2โ๐. (Contributed by
Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
|
โข (๐ โ โ0 โ
(2โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)(๐C๐)) |
|
Theorem | binom1dif 11494* |
A summation for the difference between ((๐ด + 1)โ๐) and
(๐ดโ๐). (Contributed by Scott Fenton,
9-Apr-2014.) (Revised by
Mario Carneiro, 22-May-2014.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ
(((๐ด + 1)โ๐) โ (๐ดโ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))((๐C๐) ยท (๐ดโ๐))) |
|
Theorem | bcxmaslem1 11495 |
Lemma for bcxmas 11496. (Contributed by Paul Chapman,
18-May-2007.)
|
โข (๐ด = ๐ต โ ((๐ + ๐ด)C๐ด) = ((๐ + ๐ต)C๐ต)) |
|
Theorem | bcxmas 11496* |
Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle.
(Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro,
24-Apr-2014.)
|
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)
โ (((๐ + 1) + ๐)C๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐ + ๐)C๐)) |
|
4.8.4 Infinite sums (cont.)
|
|
Theorem | isumshft 11497* |
Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman,
31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข ๐ =
(โคโฅโ(๐ + ๐พ)) & โข (๐ = (๐พ + ๐) โ ๐ด = ๐ต)
& โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = ฮฃ๐ โ ๐ ๐ต) |
|
Theorem | isumsplit 11498* |
Split off the first ๐ terms of an infinite sum.
(Contributed by
Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข ๐ =
(โคโฅโ๐)
& โข (๐ โ ๐ โ ๐)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = (ฮฃ๐ โ (๐...(๐ โ 1))๐ด + ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด)) |
|
Theorem | isum1p 11499* |
The infinite sum of a converging infinite series equals the first term
plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM,
2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข ๐ = (โคโฅโ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด = ((๐นโ๐) + ฮฃ๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))๐ด)) |
|
Theorem | isumnn0nn 11500* |
Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed
by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
|
โข (๐ = 0 โ ๐ด = ๐ต)
& โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐นโ๐) = ๐ด)
& โข ((๐ โง ๐ โ โ0) โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ seq0( + , ๐น) โ dom โ
) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โ0 ๐ด = (๐ต + ฮฃ๐ โ โ ๐ด)) |