Theorem orddisj 4545

Description: An ordinal class and its singleton are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
orddisj	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem orddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordirr 4541	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		disjsn 3654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 134	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3128  ∅c0 3422  {csn 3592  Ord word 4362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-nul 3423  df-sn 3598

This theorem is referenced by:  orddif  4546  phplem2  6852  ennnfonelemhf1o  12408