Theorem phplem2 6831

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	1, 2	opex 4214	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V
4	3	snex 4171	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V
5	1, 2	f1osn 5482	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}
6		f1oen3g 6732	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V ∧ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}) → {𝐵} ≈ {𝐴})
7	4, 5, 6	mp2an 424	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {𝐴}
8		difss 3253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
9	2, 8	ssexi 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V
10	9	enref 6743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})
11	7, 10	pm3.2i 270	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12		incom 3319	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴})
13		ssrin 3352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴}))
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴})
15		nnord 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
16		orddisj 4530	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
18	14, 17	sseqtrid 3197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅)
19		ss0 3455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
21	12, 20	eqtrid 2215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
22		disjdif 3487	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅
23	21, 22	jctil 310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅))
24		unen 6794	. . . 4 ⊢ ((({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
25	11, 23, 24	sylancr 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
26	25	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
27		uncom 3271	. . 3 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
28		nndifsnid 6486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
29	27, 28	eqtrid 2215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
30		phplem1 6830	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
31	26, 29, 30	3brtr3d 4020	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {csn 3583  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  Ord word 4347  suc csuc 4350  ωcom 4574  –1-1-onto→wf1o 5197   ≈ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-en 6719

This theorem is referenced by:  phplem3  6832