ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem2 GIF version

Theorem phplem2 6700
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1 𝐴 ∈ V
phplem2.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
phplem2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem2
StepHypRef Expression
1 phplem2.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
2 phplem2.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
31, 2opex 4111 . . . . . . 7 𝐵, 𝐴⟩ ∈ V
43snex 4069 . . . . . 6 {⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V
51, 2f1osn 5363 . . . . . 6 {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}
6 f1oen3g 6602 . . . . . 6 (({⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V ∧ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}) → {𝐵} ≈ {𝐴})
74, 5, 6mp2an 420 . . . . 5 {𝐵} ≈ {𝐴}
8 difss 3168 . . . . . . 7 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
92, 8ssexi 4026 . . . . . 6 (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V
109enref 6613 . . . . 5 (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})
117, 10pm3.2i 268 . . . 4 ({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12 incom 3234 . . . . . 6 ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴})
13 ssrin 3267 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴}))
148, 13ax-mp 7 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴})
15 nnord 4485 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
16 orddisj 4421 . . . . . . . . 9 (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
1814, 17sseqtrid 3113 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅)
19 ss0 3369 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
2018, 19syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
2112, 20syl5eq 2159 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
22 disjdif 3401 . . . . 5 ({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅
2321, 22jctil 308 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅))
24 unen 6664 . . . 4 ((({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
2511, 23, 24sylancr 408 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
2625adantr 272 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
27 uncom 3186 . . 3 ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
28 nndifsnid 6357 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
2927, 28syl5eq 2159 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
30 phplem1 6699 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
3126, 29, 303brtr3d 3924 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2657  cdif 3034  cun 3035  cin 3036  wss 3037  c0 3329  {csn 3493  cop 3496   class class class wbr 3895  Ord word 4244  suc csuc 4247  ωcom 4464  1-1-ontowf1o 5080  cen 6586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-en 6589
This theorem is referenced by:  phplem3  6701
  Copyright terms: Public domain W3C validator