Theorem phplem2 6975

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	1, 2	opex 4291	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V
4	3	snex 4245	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V
5	1, 2	f1osn 5585	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}
6		f1oen3g 6868	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V ∧ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}) → {𝐵} ≈ {𝐴})
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {𝐴}
8		difss 3307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
9	2, 8	ssexi 4198	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V
10	9	enref 6879	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})
11	7, 10	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12		incom 3373	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴})
13		ssrin 3406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴}))
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴})
15		nnord 4678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
16		orddisj 4612	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
18	14, 17	sseqtrid 3251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅)
19		ss0 3509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
21	12, 20	eqtrid 2252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
22		disjdif 3541	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅
23	21, 22	jctil 312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅))
24		unen 6932	. . . 4 ⊢ ((({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
25	11, 23, 24	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
26	25	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
27		uncom 3325	. . 3 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
28		nndifsnid 6616	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
29	27, 28	eqtrid 2252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
30		phplem1 6974	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
31	26, 29, 30	3brtr3d 4090	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   ∖ cdif 3171   ∪ cun 3172   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  {csn 3643  ⟨cop 3646   class class class wbr 4059  Ord word 4427  suc csuc 4430  ωcom 4656  –1-1-onto→wf1o 5289   ≈ cen 6848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-en 6851

This theorem is referenced by:  phplem3  6976