Theorem phplem2 6914

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	1, 2	opex 4262	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V
4	3	snex 4218	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V
5	1, 2	f1osn 5544	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}
6		f1oen3g 6813	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V ∧ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}) → {𝐵} ≈ {𝐴})
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {𝐴}
8		difss 3289	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
9	2, 8	ssexi 4171	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V
10	9	enref 6824	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})
11	7, 10	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12		incom 3355	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴})
13		ssrin 3388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴}))
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴})
15		nnord 4648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
16		orddisj 4582	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
18	14, 17	sseqtrid 3233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅)
19		ss0 3491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
21	12, 20	eqtrid 2241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
22		disjdif 3523	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅
23	21, 22	jctil 312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅))
24		unen 6875	. . . 4 ⊢ ((({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
25	11, 23, 24	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
26	25	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
27		uncom 3307	. . 3 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
28		nndifsnid 6565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
29	27, 28	eqtrid 2241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
30		phplem1 6913	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
31	26, 29, 30	3brtr3d 4064	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  {csn 3622  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  Ord word 4397  suc csuc 4400  ωcom 4626  –1-1-onto→wf1o 5257   ≈ cen 6797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-en 6800

This theorem is referenced by:  phplem3  6915