Theorem phplem2 6871

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	1, 2	opex 4244	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V
4	3	snex 4200	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V
5	1, 2	f1osn 5516	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}
6		f1oen3g 6772	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V ∧ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}) → {𝐵} ≈ {𝐴})
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {𝐴}
8		difss 3276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
9	2, 8	ssexi 4156	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V
10	9	enref 6783	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})
11	7, 10	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12		incom 3342	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴})
13		ssrin 3375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴}))
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴})
15		nnord 4626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
16		orddisj 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
18	14, 17	sseqtrid 3220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅)
19		ss0 3478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
21	12, 20	eqtrid 2234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
22		disjdif 3510	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅
23	21, 22	jctil 312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅))
24		unen 6834	. . . 4 ⊢ ((({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
25	11, 23, 24	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
26	25	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
27		uncom 3294	. . 3 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
28		nndifsnid 6526	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
29	27, 28	eqtrid 2234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
30		phplem1 6870	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
31	26, 29, 30	3brtr3d 4049	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ∖ cdif 3141   ∪ cun 3142   ∩ cin 3143   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  {csn 3607  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018  Ord word 4377  suc csuc 4380  ωcom 4604  –1-1-onto→wf1o 5230   ≈ cen 6756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-en 6759

This theorem is referenced by:  phplem3  6872