Theorem rexrp 9955

Description: Quantification over positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rexrp	⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ 𝜑))

Proof of Theorem rexrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 9934	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
2	1	anbi1i 458	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝜑))
3		anass 401	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitri 184	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ 𝜑)))
5	4	rexbii2 2544	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075   < clt 8256  ℝ⁺crp 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-rp 9933

This theorem is referenced by: (None)