Theorem elrp 9951

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4097	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 9950	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2966	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8091  0cc0 8092   < clt 8273  ℝ⁺crp 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-rp 9950

This theorem is referenced by:  elrpii  9952  nnrp  9959  rpgt0  9961  rpregt0  9963  ralrp  9971  rexrp  9972  rpaddcl  9973  rpmulcl  9974  rpdivcl  9975  rpgecl  9978  rphalflt  9979  ge0p1rp  9981  rpnegap  9982  negelrp  9983  ltsubrp  9986  ltaddrp  9987  difrp  9988  elrpd  9989  iccdil  10294  icccntr  10296  dfrp2  10586  expgt0  10897  sqrtdiv  11682  mulcn2  11952  ef01bndlem  12397  nconstwlpolem  16798