Theorem elrp 9878

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4088	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 9877	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2963	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4084  ℝcr 8019  0cc0 8020   < clt 8202  ℝ⁺crp 9876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4085  df-rp 9877

This theorem is referenced by:  elrpii  9879  nnrp  9886  rpgt0  9888  rpregt0  9890  ralrp  9898  rexrp  9899  rpaddcl  9900  rpmulcl  9901  rpdivcl  9902  rpgecl  9905  rphalflt  9906  ge0p1rp  9908  rpnegap  9909  negelrp  9910  ltsubrp  9913  ltaddrp  9914  difrp  9915  elrpd  9916  iccdil  10221  icccntr  10223  dfrp2  10511  expgt0  10822  sqrtdiv  11590  mulcn2  11860  ef01bndlem  12304  nconstwlpolem  16579