Theorem elrp 10006

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4118	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 10005	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2979	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142  0cc0 8143   < clt 8324  ℝ⁺crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  elrpii  10007  nnrp  10014  rpgt0  10016  rpregt0  10018  ralrp  10026  rexrp  10027  rpaddcl  10028  rpmulcl  10029  rpdivcl  10030  rpgecl  10033  rphalflt  10034  ge0p1rp  10036  rpnegap  10037  negelrp  10038  ltsubrp  10041  ltaddrp  10042  difrp  10043  elrpd  10044  iccdil  10350  icccntr  10352  dfrp2  10647  expgt0  10958  sqrtdiv  11752  mulcn2  12022  ef01bndlem  12467  nconstwlpolem  16977