Theorem elrp 9235

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3871	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 9234	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ℝcr 7446  0cc0 7447   < clt 7619  ℝ⁺crp 9233

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-rab 2379  df-v 2635  df-un 3017  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-rp 9234

This theorem is referenced by:  elrpii  9236  nnrp  9242  rpgt0  9244  rpregt0  9246  ralrp  9254  rexrp  9255  rpaddcl  9256  rpmulcl  9257  rpdivcl  9258  rpgecl  9261  rphalflt  9262  ge0p1rp  9264  rpnegap  9265  ltsubrp  9267  ltaddrp  9268  difrp  9269  elrpd  9270  iccdil  9564  icccntr  9566  expgt0  10119  sqrtdiv  10606  mulcn2  10871  ef01bndlem  11211