Theorem elrp 9612

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3993	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 9611	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2889	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773  0cc0 7774   < clt 7954  ℝ⁺crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  elrpii  9613  nnrp  9620  rpgt0  9622  rpregt0  9624  ralrp  9632  rexrp  9633  rpaddcl  9634  rpmulcl  9635  rpdivcl  9636  rpgecl  9639  rphalflt  9640  ge0p1rp  9642  rpnegap  9643  negelrp  9644  ltsubrp  9647  ltaddrp  9648  difrp  9649  elrpd  9650  iccdil  9955  icccntr  9957  dfrp2  10220  expgt0  10509  sqrtdiv  11006  mulcn2  11275  ef01bndlem  11719  nconstwlpolem  14096