Theorem elrp 10073

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4135	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 10072	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2985	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366  ℝ⁺crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10072

This theorem is used by:  elrpii  10074  nnrp  10081  rpgt0  10083  rpregt0  10085  ralrp  10093  rexrp  10094  rpaddcl  10095  rpmulcl  10096  rpdivcl  10097  rpgecl  10100  rphalflt  10101  ge0p1rp  10103  rpnegap  10104  negelrp  10105  ltsubrp  10108  ltaddrp  10109  difrp  10110  elrpd  10111  iccdil  10417  icccntr  10419  dfrp2  10715  expgt0  11030  sqrtdiv  11830  mulcn2  12103  ef01bndlem  12548  chtqub  16296  nconstwlpolem  17322