Theorem elrp 10067

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4134	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 10066	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2985	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179  0cc0 8180   < clt 8361  ℝ⁺crp 10065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10066

This theorem is used by:  elrpii  10068  nnrp  10075  rpgt0  10077  rpregt0  10079  ralrp  10087  rexrp  10088  rpaddcl  10089  rpmulcl  10090  rpdivcl  10091  rpgecl  10094  rphalflt  10095  ge0p1rp  10097  rpnegap  10098  negelrp  10099  ltsubrp  10102  ltaddrp  10103  difrp  10104  elrpd  10105  iccdil  10411  icccntr  10413  dfrp2  10709  expgt0  11024  sqrtdiv  11824  mulcn2  12097  ef01bndlem  12542  chtqub  16257  nconstwlpolem  17282