Theorem elrp 9889

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4092	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 9888	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2965	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030  0cc0 8031   < clt 8213  ℝ⁺crp 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-rp 9888

This theorem is referenced by:  elrpii  9890  nnrp  9897  rpgt0  9899  rpregt0  9901  ralrp  9909  rexrp  9910  rpaddcl  9911  rpmulcl  9912  rpdivcl  9913  rpgecl  9916  rphalflt  9917  ge0p1rp  9919  rpnegap  9920  negelrp  9921  ltsubrp  9924  ltaddrp  9925  difrp  9926  elrpd  9927  iccdil  10232  icccntr  10234  dfrp2  10522  expgt0  10833  sqrtdiv  11602  mulcn2  11872  ef01bndlem  12316  nconstwlpolem  16669