Theorem elrp 9126

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3847	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 9125	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3843  ℝcr 7339  0cc0 7340   < clt 7512  ℝ⁺crp 9124

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rab 2368  df-v 2621  df-un 3003  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-br 3844  df-rp 9125

This theorem is referenced by:  elrpii  9127  nnrp  9133  rpgt0  9135  rpregt0  9137  ralrp  9145  rexrp  9146  rpaddcl  9147  rpmulcl  9148  rpdivcl  9149  rpgecl  9152  rphalflt  9153  ge0p1rp  9155  rpnegap  9156  ltsubrp  9158  ltaddrp  9159  difrp  9160  elrpd  9161  iccdil  9405  icccntr  9407  expgt0  9976  sqrtdiv  10463  mulcn2  10688  ef01bndlem  11034