MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth5 10044
Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
axgroth5 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∃𝑤𝑦 𝒫 𝑧𝑤) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑧𝑦𝑧𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem axgroth5
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-groth 10043 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
2 biid 253 . . . 4 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
3 pwss 4439 . . . . . 6 (𝒫 𝑧𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦))
4 pwss 4439 . . . . . . 7 (𝒫 𝑧𝑤 ↔ ∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))
54rexbii 3194 . . . . . 6 (∃𝑤𝑦 𝒫 𝑧𝑤 ↔ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))
63, 5anbi12i 617 . . . . 5 ((𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∃𝑤𝑦 𝒫 𝑧𝑤) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)))
76ralbii 3115 . . . 4 (∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∃𝑤𝑦 𝒫 𝑧𝑤) ↔ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)))
8 df-ral 3093 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑧𝑦𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
9 selpw 4429 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦𝑧𝑦)
109imbi1i 342 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
1110albii 1782 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
128, 11bitri 267 . . . 4 (∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑧𝑦𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
132, 7, 123anbi123i 1135 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∃𝑤𝑦 𝒫 𝑧𝑤) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑧𝑦𝑧𝑦)) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦))))
1413exbii 1810 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∃𝑤𝑦 𝒫 𝑧𝑤) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑧𝑦𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦))))
151, 14mpbir 223 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∃𝑤𝑦 𝒫 𝑧𝑤) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑧𝑦𝑧𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wo 833  w3a 1068  wal 1505  wex 1742  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  wss 3829  𝒫 cpw 4422   class class class wbr 4929  cen 8303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-ext 2750  ax-groth 10043
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ral 3093  df-rex 3094  df-v 3417  df-in 3836  df-ss 3843  df-pw 4424
This theorem is referenced by:  grothpw  10046  grothpwex  10047  axgroth6  10048  grothtsk  10055
  Copyright terms: Public domain W3C validator