Theorem grothtsk 10701

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom, using abbreviations. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grothtsk	⊢ ∪ Tarski = V

Proof of Theorem grothtsk

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 10690	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
2		eltskg 10616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
3	2	elv 3449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
4	3	anbi2i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
5		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
6	4, 5	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
7	6	exbii 1850	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	1, 7	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski)
9		eluni 4863	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski))
10	8, 9	mpbir 230	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ ∪ Tarski
11		vex 3447	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	10, 11	2th 264	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ 𝑤 ∈ V)
13	12	eqriv 2734	1 ⊢ ∪ Tarski = V

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3443   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4860   class class class wbr 5100   ≈ cen 8810  Tarskictsk 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2708  ax-groth 10689

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-br 5101  df-tsk 10615

This theorem is referenced by:  inaprc  10702  tskmval  10705  tskmcl  10707