Theorem grothtsk 10756

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom, using abbreviations. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grothtsk	⊢ ∪ Tarski = V

Proof of Theorem grothtsk

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 10745	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
2		eltskg 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
3	2	elv 3437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
4	3	anbi2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
5		3anass 1100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
6	4, 5	bitr4i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
7	6	exbii 1855	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	1, 7	mpbir 232	. . . 4 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski)
9		eluni 4848	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski))
10	8, 9	mpbir 232	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ ∪ Tarski
11		vex 3436	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	10, 11	2th 265	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ 𝑤 ∈ V)
13	12	eqriv 2737	1 ⊢ ∪ Tarski = V

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4536  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079   ≈ cen 8887  Tarskictsk 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-groth 10744

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-tsk 10670

This theorem is referenced by:  inaprc  10757  tskmval  10760  tskmcl  10762