Theorem grothtsk 10816

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom, using abbreviations. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grothtsk	⊢ ∪ Tarski = V

Proof of Theorem grothtsk

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 10805	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
2		eltskg 10731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
3	2	elv 3468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
4	3	anbi2i 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
5		3anass 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
6	4, 5	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
7	6	exbii 1875	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	1, 7	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski)
9		eluni 4876	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski))
10	8, 9	mpbir 234	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ ∪ Tarski
11		vex 3467	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	10, 11	2th 267	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ 𝑤 ∈ V)
13	12	eqriv 2766	1 ⊢ ∪ Tarski = V

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110   ≈ cen 8936  Tarskictsk 10729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-groth 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-tsk 10730

This theorem is referenced by:  inaprc  10817  tskmval  10820  tskmcl  10822