Theorem grothtsk 10844

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom, using abbreviations. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grothtsk	⊢ ∪ Tarski = V

Proof of Theorem grothtsk

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 10833	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
2		eltskg 10759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
3	2	elv 3455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Tarski ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
4	3	anbi2i 635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
5		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))))
6	4, 5	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
7	6	exbii 1881	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski) ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ⊆ 𝑧) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑦 ≈ 𝑥 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	1, 7	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski)
9		eluni 4870	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑥(𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Tarski))
10	8, 9	mpbir 234	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ ∪ Tarski
11		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑤 ∈ V
12	10, 11	2th 267	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ Tarski ↔ 𝑤 ∈ V)
13	12	eqriv 2757	1 ⊢ ∪ Tarski = V

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ≈ cen 8949  Tarskictsk 10757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-groth 10832

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-tsk 10758

This theorem is used by:  inaprc  10845  tskmval  10848  tskmcl  10850