Theorem axgroth2 10785

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 10783	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		ssdomg 8974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ≼ 𝑦))
3	2	elv 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ≼ 𝑦)
4	3	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ (𝑧 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧)))
5		sbthb 9068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) ↔ 𝑧 ≈ 𝑦)
6	4, 5	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ 𝑧 ≈ 𝑦))
7	6	orbi1d 916	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
8	7	pm5.74i 271	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
9	8	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
10	9	3anbi3i 1159	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
11	10	exbii 1848	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
12	1, 11	mpbir 231	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538  ∃wex 1779  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-groth 10783

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923

This theorem is referenced by:  axgroth3  10791