Theorem axgroth2 10838

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 10836	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		ssdomg 9010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ≼ 𝑦))
3	2	elv 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ≼ 𝑦)
4	3	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ (𝑧 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧)))
5		sbthb 9100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) ↔ 𝑧 ≈ 𝑦)
6	4, 5	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ 𝑧 ≈ 𝑦))
7	6	orbi1d 930	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
8	7	pm5.74i 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
9	8	albii 1852	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
10	9	3anbi3i 1177	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
11	10	exbii 1881	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
12	1, 11	mpbir 234	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568  ∃wex 1812  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ≈ cen 8953   ≼ cdom 8954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-groth 10836

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958

This theorem is used by:  axgroth3  10844