Theorem axgroth2 10798

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 10796	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		ssdomg 8985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ≼ 𝑦))
3	2	elv 3462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ≼ 𝑦)
4	3	biantrurd 541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ (𝑧 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧)))
5		sbthb 9074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) ↔ 𝑧 ≈ 𝑦)
6	4, 5	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ 𝑧 ≈ 𝑦))
7	6	orbi1d 929	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
8	7	pm5.74i 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
9	8	albii 1842	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
10	9	3anbi3i 1175	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
11	10	exbii 1871	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ≈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
12	1, 11	mpbir 234	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101  ∀wal 1561  ∃wex 1802  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-groth 10796

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933

This theorem is referenced by:  axgroth3  10804