Theorem bj-isvec 37779

Description: The predicate "is a vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-isvec.scal	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
bj-isvec	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))

Proof of Theorem bj-isvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
2	1	islvec 21171	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing))
3		bj-isvec.scal	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑉))
4	3	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)
5	4	eleq1d 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑉) ∈ DivRing ↔ 𝐾 ∈ DivRing))
6	5	anbi2d 639	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))
7	2, 6	bitrid 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  Scalarcsca 17289  DivRingcdr 20779  LModclmod 20927  LVecclvec 21169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6477  df-fv 6529  df-lvec 21170

This theorem is referenced by:  bj-rvecvec  37791