Theorem bj-isvec 37853

Description: The predicate "is a vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-isvec.scal	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
bj-isvec	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))

Proof of Theorem bj-isvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
2	1	islvec 21203	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing))
3		bj-isvec.scal	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑉))
4	3	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)
5	4	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑉) ∈ DivRing ↔ 𝐾 ∈ DivRing))
6	5	anbi2d 641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))
7	2, 6	bitrid 286	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  Scalarcsca 17313  DivRingcdr 20813  LModclmod 20959  LVecclvec 21201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-iota 6493  df-fv 6545  df-lvec 21202

This theorem is referenced by:  bj-rvecvec  37865