Theorem bj-isvec 37272

Description: The predicate "is a vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-isvec.scal	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
bj-isvec	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))

Proof of Theorem bj-isvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
2	1	islvec 21017	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing))
3		bj-isvec.scal	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑉))
4	3	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)
5	4	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑉) ∈ DivRing ↔ 𝐾 ∈ DivRing))
6	5	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))
7	2, 6	bitrid 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ LVec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6519  Scalarcsca 17229  DivRingcdr 20644  LModclmod 20772  LVecclvec 21015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-iota 6472  df-fv 6527  df-lvec 21016

This theorem is referenced by:  bj-rvecvec  37284