Theorem islvec 21011

Description: The predicate "is a left vector space". (Contributed by NM, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islvec	⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))

Proof of Theorem islvec

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → (Scalar‘𝑓) = (Scalar‘𝑊))
2		islvec.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → (Scalar‘𝑓) = 𝐹)
4	3	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → ((Scalar‘𝑓) ∈ DivRing ↔ 𝐹 ∈ DivRing))
5		df-lvec 21010	. 2 ⊢ LVec = {𝑓 ∈ LMod ∣ (Scalar‘𝑓) ∈ DivRing}
6	4, 5	elrab2 3662	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Scalarcsca 17223  DivRingcdr 20638  LModclmod 20766  LVecclvec 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-lvec 21010

This theorem is referenced by:  lvecdrng  21012  lveclmod  21013  lsslvec  21016  lmhmlvec  21017  lvecprop2d  21076  lvecpropd  21077  rlmlvec  21111  frlmlvec  21670  frlmphl  21690  mpllvec  21929  tvclvec  24086  isnvc2  24587  iscvs  25027  cnstrcvs  25041  zclmncvs  25048  quslvec  33331  ply1lvec  33528  sralvec  33581  matdim  33611  lmhmlvec2  33615  assalactf1o  33631  ccfldsrarelvec  33666  fldextrspunlem1  33670  fldextrspunfld  33671  bj-isvec  37275  lindsdom  37608  lindsenlbs  37609  lduallvec  39147  dvalveclem  41019  dvhlveclem  41102  lmod1zrnlvec  48483  aacllem  49790