Theorem islvec 21089

Description: The predicate "is a left vector space". (Contributed by NM, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islvec	⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))

Proof of Theorem islvec

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → (Scalar‘𝑓) = (Scalar‘𝑊))
2		islvec.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → (Scalar‘𝑓) = 𝐹)
4	3	eleq1d 2822	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → ((Scalar‘𝑓) ∈ DivRing ↔ 𝐹 ∈ DivRing))
5		df-lvec 21088	. 2 ⊢ LVec = {𝑓 ∈ LMod ∣ (Scalar‘𝑓) ∈ DivRing}
6	4, 5	elrab2 3638	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  Scalarcsca 17212  DivRingcdr 20695  LModclmod 20844  LVecclvec 21087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6446  df-fv 6498  df-lvec 21088

This theorem is referenced by:  lvecdrng  21090  lveclmod  21091  lsslvec  21094  lmhmlvec  21095  lvecprop2d  21154  lvecpropd  21155  rlmlvec  21189  frlmlvec  21749  frlmphl  21769  mpllvec  22007  tvclvec  24173  isnvc2  24673  iscvs  25103  cnstrcvs  25117  zclmncvs  25124  quslvec  33440  ply1lvec  33639  sralvec  33749  matdim  33780  lmhmlvec2  33784  assalactf1o  33800  ccfldsrarelvec  33836  fldextrspunlem1  33840  fldextrspunfld  33841  bj-isvec  37614  lindsdom  37946  lindsenlbs  37947  lduallvec  39611  dvalveclem  41482  dvhlveclem  41565  lmod1zrnlvec  48967  aacllem  50273