Theorem islvec 20715

Description: The predicate "is a left vector space". (Contributed by NM, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islvec	⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))

Proof of Theorem islvec

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → (Scalar‘𝑓) = (Scalar‘𝑊))
2		islvec.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	eqtr4di 2791	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → (Scalar‘𝑓) = 𝐹)
4	3	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → ((Scalar‘𝑓) ∈ DivRing ↔ 𝐹 ∈ DivRing))
5		df-lvec 20714	. 2 ⊢ LVec = {𝑓 ∈ LMod ∣ (Scalar‘𝑓) ∈ DivRing}
6	4, 5	elrab2 3687	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  Scalarcsca 17200  DivRingcdr 20357  LModclmod 20471  LVecclvec 20713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-lvec 20714

This theorem is referenced by:  lvecdrng  20716  lveclmod  20717  lsslvec  20719  lmhmlvec  20720  lvecprop2d  20779  lvecpropd  20780  rlmlvec  20828  frlmlvec  21316  frlmphl  21336  mpllvec  21579  tvclvec  23703  isnvc2  24216  iscvs  24643  cnstrcvs  24657  zclmncvs  24665  quslvec  32471  ply1lvec  32638  sralvec  32675  matdim  32700  lmhmlvec2  32704  ccfldsrarelvec  32745  bj-isvec  36168  lindsdom  36482  lindsenlbs  36483  lduallvec  38024  dvalveclem  39896  dvhlveclem  39979  lmod1zrnlvec  47175  aacllem  47848