Theorem islvec 21341

Description: The predicate "is a left vector space". (Contributed by NM, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islvec	⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))

Proof of Theorem islvec

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6873	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → (Scalar‘𝑓) = (Scalar‘𝑊))
2		islvec.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → (Scalar‘𝑓) = 𝐹)
4	3	eleq1d 2845	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑊 → ((Scalar‘𝑓) ∈ DivRing ↔ 𝐹 ∈ DivRing))
5		df-lvec 21340	. 2 ⊢ LVec = {𝑓 ∈ LMod ∣ (Scalar‘𝑓) ∈ DivRing}
6	4, 5	elrab2 3648	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  Scalarcsca 17393  DivRingcdr 20942  LModclmod 21097  LVecclvec 21339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6483  df-fv 6535  df-lvec 21340

This theorem is used by:  lvecdrng  21342  lveclmod  21343  lsslvec  21346  lmhmlvec  21347  lvecprop2d  21406  lvecpropd  21407  rlmlvec  21441  frlmlvec  22029  frlmphl  22049  lindsdom  22118  lindsenlbs  22119  mpllvec  22289  tvclvec  24480  isnvc2  24980  iscvs  25410  cnstrcvs  25424  zclmncvs  25431  quslvec  33855  ply1lvec  34025  sralvec  34151  matdim  34181  lmhmlvec2  34185  assalactf1o  34201  ccfldsrarelvec  34237  fldextrspunlem1  34241  fldextrspunfld  34242  bj-isvec  38128  lduallvec  40131  dvalveclem  42002  dvhlveclem  42085  lmod1zrnlvec  49528  aacllem  50861