Theorem hvadd12 31462

Description: Commutative/associative law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvadd12	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐶)) = (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvadd12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 31428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐵 +ℎ 𝐴))
2	1	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = ((𝐵 +ℎ 𝐴) +ℎ 𝐶))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = ((𝐵 +ℎ 𝐴) +ℎ 𝐶))
4		ax-hvass 31429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐶)))
5		ax-hvass 31429	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℎ 𝐴) +ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ 𝐶)))
6	5	3com12 1141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℎ 𝐴) +ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ 𝐶)))
7	3, 4, 6	3eqtr3d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐶)) = (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419   ℋchba 31346   +_ℎ cva 31347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-hvcom 31428  ax-hvass 31429

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7422

This theorem is used by:  hvaddsub12  31465