Theorem hvadd4 28813

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvadd4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvadd32 28811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵))
2	1	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
3	2	3expa 1114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
4	3	adantrr 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
5		hvaddcl 28789	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvass 28779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
7	6	3expb 1116	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
8	5, 7	sylan 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
9		hvaddcl 28789	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
10		ax-hvass 28779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
11	10	3expb 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
12	9, 11	sylan 582	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
13	12	an4s 658	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
14	4, 8, 13	3eqtr3d 2864	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156   ℋchba 28696   +_ℎ cva 28697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-hfvadd 28777  ax-hvcom 28778  ax-hvass 28779

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159

This theorem is referenced by:  hvsub4  28814  hvadd4i  28835  shscli  29094  spanunsni  29356  mayete3i  29505  lnophsi  29778