HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvadd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvadd4 31055
Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvadd4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem hvadd4
StepHypRef Expression
1 hvadd32 31053 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))
21oveq1d 7446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
323expa 1119 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
43adantrr 717 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
5 hvaddcl 31031 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
6 ax-hvass 31021 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
763expb 1121 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
85, 7sylan 580 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
9 hvaddcl 31031 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ)
10 ax-hvass 31021 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
11103expb 1121 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
129, 11sylan 580 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
1312an4s 660 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
144, 8, 133eqtr3d 2785 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  chba 30938   + cva 30939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434
This theorem is referenced by:  hvsub4  31056  hvadd4i  31077  shscli  31336  spanunsni  31598  mayete3i  31747  lnophsi  32020
  Copyright terms: Public domain W3C validator