HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvadd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvadd4 28822
Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvadd4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem hvadd4
StepHypRef Expression
1 hvadd32 28820 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))
21oveq1d 7154 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
323expa 1115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
43adantrr 716 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
5 hvaddcl 28798 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
6 ax-hvass 28788 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
763expb 1117 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
85, 7sylan 583 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
9 hvaddcl 28798 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ)
10 ax-hvass 28788 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
11103expb 1117 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
129, 11sylan 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
1312an4s 659 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
144, 8, 133eqtr3d 2844 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  chba 28705   + cva 28706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7142
This theorem is referenced by:  hvsub4  28823  hvadd4i  28844  shscli  29103  spanunsni  29365  mayete3i  29514  lnophsi  29787
  Copyright terms: Public domain W3C validator