Theorem hvadd4 31125

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvadd4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvadd32 31123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵))
2	1	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
3	2	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
4	3	adantrr 718	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
5		hvaddcl 31101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvass 31091	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
7	6	3expb 1121	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
8	5, 7	sylan 581	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
9		hvaddcl 31101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
10		ax-hvass 31091	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
11	10	3expb 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
12	9, 11	sylan 581	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
13	12	an4s 661	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
14	4, 8, 13	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364

This theorem is referenced by:  hvsub4  31126  hvadd4i  31147  shscli  31406  spanunsni  31668  mayete3i  31817  lnophsi  32090