Theorem hvadd4 30859

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvadd4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvadd32 30857	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵))
2	1	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
3	2	3expa 1116	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
4	3	adantrr 716	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷))
5		hvaddcl 30835	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvass 30825	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
7	6	3expb 1118	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
8	5, 7	sylan 579	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)))
9		hvaddcl 30835	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
10		ax-hvass 30825	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
11	10	3expb 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
12	9, 11	sylan 579	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
13	12	an4s 659	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐷) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))
14	4, 8, 13	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420   ℋchba 30742   +_ℎ cva 30743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423

This theorem is referenced by:  hvsub4  30860  hvadd4i  30881  shscli  31140  spanunsni  31402  mayete3i  31551  lnophsi  31824