HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddsub12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddsub12 28810
Description: Commutative/associative law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddsub12 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + (𝐵 𝐶)) = (𝐵 + (𝐴 𝐶)))

Proof of Theorem hvaddsub12
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11737 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 28785 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐶 ∈ ℋ → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
4 hvadd12 28807 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = (𝐵 + (𝐴 + (-1 · 𝐶))))
53, 4syl3an3 1162 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = (𝐵 + (𝐴 + (-1 · 𝐶))))
6 hvsubval 28788 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 + (-1 · 𝐶)))
76oveq2d 7154 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + (𝐵 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐶))))
873adant1 1127 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + (𝐵 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐶))))
9 hvsubval 28788 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
109oveq2d 7154 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + (𝐴 𝐶)) = (𝐵 + (𝐴 + (-1 · 𝐶))))
11103adant2 1128 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + (𝐴 𝐶)) = (𝐵 + (𝐴 + (-1 · 𝐶))))
125, 8, 113eqtr4d 2869 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + (𝐵 𝐶)) = (𝐵 + (𝐴 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7138  cc 10520  1c1 10523  -cneg 10856  chba 28691   + cva 28692   · csm 28693   cmv 28697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-hvcom 28773  ax-hvass 28774  ax-hfvmul 28777
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-ltxr 10665  df-sub 10857  df-neg 10858  df-hvsub 28743
This theorem is referenced by:  5oalem1  29426  3oalem2  29435  pjcji  29456  pjclem4  29971  pj3si  29979
  Copyright terms: Public domain W3C validator