Theorem hvadd32 31651

Description: Commutative/associative law. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvadd32	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵))

Proof of Theorem hvadd32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 31618	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ 𝐵))
2	1	oveq2d 7446	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐶)) = (𝐴 +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)))
3	2	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐶)) = (𝐴 +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)))
4		ax-hvass 31619	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ 𝐶)))
5		ax-hvass 31619	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)))
6	5	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)))
7	3, 4, 6	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430   ℋchba 31536   +_ℎ cva 31537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-hvcom 31618  ax-hvass 31619

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6501  df-fv 6555  df-ov 7433

This theorem is used by:  hvadd4  31653  hvadd32i  31671