Theorem ifpidg 40996

Description: Restate wff as conditional logic operator. (Contributed by RP, 20-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ifpidg	⊢ ((𝜃 ↔ if-(𝜑, 𝜓, 𝜒)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ ((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓)) ∧ ((𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒)))))

Proof of Theorem ifpidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfifp4 1063	. . 3 ⊢ (if-(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)))
2	1	bibi2i 337	. 2 ⊢ ((𝜃 ↔ if-(𝜑, 𝜓, 𝜒)) ↔ (𝜃 ↔ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))))
3		dfbi2 474	. . 3 ⊢ ((𝜃 ↔ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))) ↔ ((𝜃 → ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))) ∧ (((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) → 𝜃)))
4		imor 849	. . . . 5 ⊢ ((𝜃 → ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))) ↔ (¬ 𝜃 ∨ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))))
5		ordi 1002	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝜃 ∨ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))) ↔ ((¬ 𝜃 ∨ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) ∧ (¬ 𝜃 ∨ (𝜑 ∨ 𝜒))))
6		ancomst 464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ↔ ((𝜃 ∧ 𝜑) → 𝜓))
7		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝜑) → 𝜓) ↔ (𝜃 → (𝜑 → 𝜓)))
8		imor 849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓))
9	8	imbi2i 335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 → 𝜓)) ↔ (𝜃 → (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)))
10		imor 849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜃 → (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) ↔ (¬ 𝜃 ∨ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)))
11	9, 10	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 → 𝜓)) ↔ (¬ 𝜃 ∨ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)))
12	6, 7, 11	3bitrri 297	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝜃 ∨ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓))
13		imor 849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒)) ↔ (¬ 𝜃 ∨ (𝜑 ∨ 𝜒)))
14	13	bicomi 223	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝜃 ∨ (𝜑 ∨ 𝜒)) ↔ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒)))
15	12, 14	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝜃 ∨ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) ∧ (¬ 𝜃 ∨ (𝜑 ∨ 𝜒))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒))))
16	4, 5, 15	3bitri 296	. . . 4 ⊢ ((𝜃 → ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒))))
17	8	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜓))
18		df-or 844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜒) ↔ (¬ 𝜑 → 𝜒))
19	17, 18	anbi12i 626	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ↔ ((𝜑 → 𝜓) ∧ (¬ 𝜑 → 𝜒)))
20		cases2 1044	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (¬ 𝜑 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜑 → 𝜓) ∧ (¬ 𝜑 → 𝜒)))
21	20	bicomi 223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) ∧ (¬ 𝜑 → 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (¬ 𝜑 ∧ 𝜒)))
22	19, 21	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (¬ 𝜑 ∧ 𝜒)))
23	22	imbi1i 349	. . . . 5 ⊢ ((((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) → 𝜃) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (¬ 𝜑 ∧ 𝜒)) → 𝜃))
24		jaob 958	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (¬ 𝜑 ∧ 𝜒)) → 𝜃) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ ((¬ 𝜑 ∧ 𝜒) → 𝜃)))
25		ancomst 464	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝜑 ∧ 𝜒) → 𝜃) ↔ ((𝜒 ∧ ¬ 𝜑) → 𝜃))
26		pm5.6 998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜒 ∧ ¬ 𝜑) → 𝜃) ↔ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)))
27	25, 26	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝜑 ∧ 𝜒) → 𝜃) ↔ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)))
28	27	anbi2i 622	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ ((¬ 𝜑 ∧ 𝜒) → 𝜃)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃))))
29	23, 24, 28	3bitri 296	. . . 4 ⊢ ((((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) → 𝜃) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃))))
30	16, 29	anbi12i 626	. . 3 ⊢ (((𝜃 → ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))) ∧ (((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) → 𝜃)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒))) ∧ (((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)))))
31	3, 30	bitri 274	. 2 ⊢ ((𝜃 ↔ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒))) ∧ (((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)))))
32		ancom 460	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒))) ∧ (((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)))) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃))) ∧ (((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒)))))
33		an4 652	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃))) ∧ (((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒)))) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ ((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓)) ∧ ((𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒)))))
34	32, 33	bitri 274	. 2 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒))) ∧ (((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ (𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)))) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ ((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓)) ∧ ((𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒)))))
35	2, 31, 34	3bitri 296	1 ⊢ ((𝜃 ↔ if-(𝜑, 𝜓, 𝜒)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜃) ∧ ((𝜑 ∧ 𝜃) → 𝜓)) ∧ ((𝜒 → (𝜑 ∨ 𝜃)) ∧ (𝜃 → (𝜑 ∨ 𝜒)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843  if-wif 1059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060

This theorem is referenced by:  ifpid3g  40997  ifpid2g  40998  ifpid1g  40999  ifpim23g  41000