Theorem int-addsimpd 41648

Description: AdditionSimplification generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-addsimpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-addsimpd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-addsimpd	⊢ (𝜑 → 0 = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem int-addsimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-addsimpd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10909	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		int-addsimpd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	2, 3	subeq0bd 11306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)
5	4	eqcomd 2745	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7252  ℝcr 10776  0cc0 10777   − cmin 11110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5479  df-po 5493  df-so 5494  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-ltxr 10920  df-sub 11112

This theorem is referenced by: (None)