Theorem iotasbc2 44994

Description: Theorem *14.111 in [WhiteheadRussell] p. 184. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iotasbc2	⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓) → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iotasbc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotasbc 44993	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒)))
2		iotasbc 44993	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ([(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
3	2	anbi2d 641	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒))))
4		3anass 1109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
5	4	exbii 1871	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
6		19.42v 1976	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
7	5, 6	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒))
8	3, 7	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
9	8	exbidv 1944	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → (∃𝑦(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
10	1, 9	sylan9bb 518	1 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓) → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1561  ∃wex 1802  ∃!weu 2598  [wsbc 3747  ℩cio 6479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-v 3459  df-sbc 3748  df-un 3912  df-ss 3924  df-sn 4586  df-pr 4588  df-uni 4869  df-iota 6481

This theorem is referenced by: (None)