Theorem iotasbc2 45498

Description: Theorem *14.111 in [WhiteheadRussell] p. 184. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iotasbc2	⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓) → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem iotasbc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotasbc 45497	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒)))
2		iotasbc 45497	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ([(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
3	2	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒))))
4		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
5	4	exbii 1880	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
6		19.42v 1985	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
7	5, 6	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒))
8	3, 7	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
9	8	exbidv 1953	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → (∃𝑦(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
10	1, 9	sylan9bb 519	1 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓) → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567  ∃wex 1811  ∃!weu 2593  [wsbc 3738  ℩cio 6492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-un 4151  df-sn 4585  df-pr 4587  df-uni 4867  df-iota 6494

This theorem is used by: (None)