Theorem iotasbc2 44439

Description: Theorem *14.111 in [WhiteheadRussell] p. 184. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iotasbc2	⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓) → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iotasbc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotasbc 44438	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒)))
2		iotasbc 44438	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ([(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
3	2	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒))))
4		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
5	4	exbii 1848	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
6		19.42v 1953	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ (∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)) ↔ (∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
7	5, 6	bitr2i 276	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∃𝑧(∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒))
8	3, 7	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → ((∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ ∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
9	8	exbidv 1921	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜓 → (∃𝑦(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ [(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒) ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))
10	1, 9	sylan9bb 509	1 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓) → ([(℩𝑥𝜑) / 𝑦][(℩𝑥𝜓) / 𝑧]𝜒 ↔ ∃𝑦∃𝑧(∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥(𝜓 ↔ 𝑥 = 𝑧) ∧ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1538  ∃wex 1779  ∃!weu 2568  [wsbc 3788  ℩cio 6512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-v 3482  df-sbc 3789  df-un 3956  df-ss 3968  df-sn 4627  df-pr 4629  df-uni 4908  df-iota 6514

This theorem is referenced by: (None)