Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  joinlmuladdmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joinlmuladdmuli 47306
Description: Join AB+CB into (A+C) on LHS. (Contributed by David A. Wheeler, 26-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
joinlmuladdmuli.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
joinlmuladdmuli.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
joinlmuladdmuli.3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
joinlmuladdmuli.4 ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ๐ท
Assertion
Ref Expression
joinlmuladdmuli ((๐ด + ๐ถ) ยท ๐ต) = ๐ท

Proof of Theorem joinlmuladdmuli
StepHypRef Expression
1 joinlmuladdmuli.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‚
21a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 joinlmuladdmuli.2 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„‚
43a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 joinlmuladdmuli.3 . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„‚
65a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7 joinlmuladdmuli.4 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ๐ท
87a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ๐ท)
92, 4, 6, 8joinlmuladdmuld 11187 . 2 (โŠค โ†’ ((๐ด + ๐ถ) ยท ๐ต) = ๐ท)
109mptru 1549 1 ((๐ด + ๐ถ) ยท ๐ต) = ๐ท
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   + caddc 11059   ยท cmul 11061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-addcl 11116  ax-mulcom 11120  ax-distr 11123
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-iota 6449  df-fv 6505  df-ov 7361
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator