Theorem joinlmulsubmuld 48319

Description: Join AB-CB into (A-C) on LHS. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joinlmulsubmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)) = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
joinlmulsubmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem joinlmulsubmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinlmulsubmuld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		joinlmulsubmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		joinlmulsubmuld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subdird 11701	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)))
5		joinlmulsubmuld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)) = 𝐷)
6	4, 5	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7417  ℂcc 11136   · cmul 11143   − cmin 11474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476

This theorem is referenced by:  i2linesd  48324