Theorem joinlmulsubmuld 47975

Description: Join AB-CB into (A-C) on LHS. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joinlmulsubmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)) = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
joinlmulsubmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem joinlmulsubmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinlmulsubmuld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		joinlmulsubmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		joinlmulsubmuld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subdird 11667	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)))
5		joinlmulsubmuld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)) = 𝐷)
6	4, 5	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  ℂcc 11103   · cmul 11110   − cmin 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442

This theorem is referenced by:  i2linesd  47980