Theorem joinlmulsubmuld 50768

Description: Join AB-CB into (A-C) on LHS. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joinlmulsubmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
joinlmulsubmuld.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)) = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
joinlmulsubmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem joinlmulsubmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinlmulsubmuld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		joinlmulsubmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		joinlmulsubmuld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subdird 11720	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)))
5		joinlmulsubmuld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐵)) = 𝐷)
6	4, 5	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · 𝐵) = 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11147   · cmul 11154   − cmin 11490

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11492

This theorem is used by:  i2linesd  50773