HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophmlem1 31007
Description: Lemma for lnophmi 31009. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophmlem.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnophmlem.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
lnophmlem.3 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnophmlem.4 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
lnophmlem1 (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘‡

Proof of Theorem lnophmlem1
StepHypRef Expression
1 lnophmlem.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 lnophmlem.4 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„
3 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
4 fveq2 6846 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐ด))
53, 4oveq12d 7379 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)))
65eleq1d 2819 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„))
76rspcv 3579 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„))
81, 2, 7mp2 9 1 (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058   โ„‹chba 29910   ยทih csp 29913  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-ov 7364
This theorem is referenced by:  lnophmlem2  31008
  Copyright terms: Public domain W3C validator