Theorem lnophmi 32047

Description: A linear operator is Hermitian if 𝑥 ·_ih (𝑇‘𝑥) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnophm.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnophm.2	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lnophmi	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnophm.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 31998	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)))
4		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
5	4	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧))
6	3, 5	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) ↔ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧)))
7		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))))
9		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ)))
10	8, 9	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → ((if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧) ↔ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))))
11		ifhvhv0 31051	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ∈ ℋ
12		ifhvhv0 31051	. . . . 5 ⊢ if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) ∈ ℋ
13		lnophm.2	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ
14	11, 12, 1, 13	lnophmlem2 32046	. . . 4 ⊢ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))
15	6, 10, 14	dedth2h 4590	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧))
16	15	rgen2 3197	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧)
17		elhmop 31902	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧)))
18	2, 16, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ifcif 4531  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   ℋchba 30948   ·_ih csp 30951  0_ℎc0v 30953  LinOpclo 30976  HrmOpcho 30979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-hvsub 31000  df-lnop 31870  df-hmop 31873

This theorem is referenced by:  lnophm  32048