Theorem lnophmi 32106

Description: A linear operator is Hermitian if 𝑥 ·_ih (𝑇‘𝑥) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnophm.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnophm.2	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lnophmi	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnophm.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 32057	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)))
4		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
5	4	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧))
6	3, 5	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) ↔ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧)))
7		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))))
9		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ)))
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → ((if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧) ↔ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))))
11		ifhvhv0 31110	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ∈ ℋ
12		ifhvhv0 31110	. . . . 5 ⊢ if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) ∈ ℋ
13		lnophm.2	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ
14	11, 12, 1, 13	lnophmlem2 32105	. . . 4 ⊢ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))
15	6, 10, 14	dedth2h 4541	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧))
16	15	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧)
17		elhmop 31961	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧)))
18	2, 16, 17	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ifcif 4481  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   ℋchba 31007   ·_ih csp 31010  0_ℎc0v 31012  LinOpclo 31035  HrmOpcho 31038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his1 31170  ax-his2 31171  ax-his3 31172

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-hvsub 31059  df-lnop 31929  df-hmop 31932

This theorem is referenced by:  lnophm  32107