Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mul13d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul13d 44287
Description: Commutative/associative law that swaps the first and the third factor in a triple product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mul13d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
mul13d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
mul13d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mul13d (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))

Proof of Theorem mul13d
StepHypRef Expression
1 mul13d.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 mul13d.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mul13d.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3mul12d 11427 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
52, 1, 3mulassd 11241 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
62, 1mulcld 11238 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
76, 3mulcomd 11239 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))
84, 5, 73eqtr2d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110   ยท cmul 11117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-mulcl 11174  ax-mulcom 11176  ax-mulass 11178
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7414
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  45114  fourierdlem83  45203
  Copyright terms: Public domain W3C validator