Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mul13d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul13d 43162
Description: Commutative/associative law that swaps the first and the third factor in a triple product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mul13d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
mul13d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
mul13d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mul13d (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))

Proof of Theorem mul13d
StepHypRef Expression
1 mul13d.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 mul13d.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mul13d.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3mul12d 11285 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
52, 1, 3mulassd 11099 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
62, 1mulcld 11096 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
76, 3mulcomd 11097 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))
84, 5, 73eqtr2d 2782 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  (class class class)co 7337  โ„‚cc 10970   ยท cmul 10977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-mulcl 11034  ax-mulcom 11036  ax-mulass 11038
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-iota 6431  df-fv 6487  df-ov 7340
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  43986  fourierdlem83  44075
  Copyright terms: Public domain W3C validator