Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mul13d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul13d 43989
Description: Commutative/associative law that swaps the first and the third factor in a triple product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mul13d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
mul13d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
mul13d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mul13d (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))

Proof of Theorem mul13d
StepHypRef Expression
1 mul13d.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 mul13d.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mul13d.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3mul12d 11423 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
52, 1, 3mulassd 11237 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
62, 1mulcld 11234 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
76, 3mulcomd 11235 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))
84, 5, 73eqtr2d 2779 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ถ ยท (๐ต ยท ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   ยท cmul 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-mulcl 11172  ax-mulcom 11174  ax-mulass 11176
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  44816  fourierdlem83  44905
  Copyright terms: Public domain W3C validator