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Theorem fourierdlem83 44778
Description: The fourier partial sum for 𝐹 rewritten as an integral. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem83.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem83.c 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem83.fl1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem83.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem83.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem83.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem83.s 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
fourierdlem83.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem83.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem83 (𝜑 → (𝑆𝑁) = ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚   𝑥,𝐶,𝑛,𝑠   𝑥,𝐷,𝑠   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝑁   𝑚,𝑁,𝑛   𝑁,𝑠   𝑥,𝑋   𝑚,𝑋,𝑛   𝑋,𝑠   𝜑,𝑥,𝑛   𝜑,𝑚   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑛,𝑠)   𝐶(𝑚)   𝐷(𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐹(𝑚,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem83
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑦 𝑘 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem83.s . . . 4 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))))
3 oveq2 7404 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (1...𝑚) = (1...𝑁))
43sumeq1d 15634 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
54oveq2d 7412 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
65adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑚 = 𝑁) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
7 fourierdlem83.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 id 22 . . . . . 6 (𝜑𝜑)
9 0nn0 12474 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
119elexi 3494 . . . . . . 7 0 ∈ V
12 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
1312anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0)))
14 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (𝐴𝑛) = (𝐴‘0))
1514eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → ((𝐴𝑛) ∈ ℝ ↔ (𝐴‘0) ∈ ℝ))
1613, 15imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℝ)))
17 fourierdlem83.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
18 fourierdlem83.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (-π(,)π)
19 fourierdlem83.fl1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
20 fourierdlem83.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
21 fourierdlem83.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2217, 18, 19, 20, 21fourierdlem22 44718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑛) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)))
2322simpld 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑛) ∈ ℝ))
2423imp 408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℝ)
2511, 16, 24vtocl 3548 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
268, 10, 25syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
2726rehalfcld 12446 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
28 fzfid 13925 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
29 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0))
3029anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑𝑛 ∈ ℕ0)))
31 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 = 𝑛𝑥𝐶) → 𝑘 = 𝑛)
3231oveq1d 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 = 𝑛𝑥𝐶) → (𝑘 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑥))
3332fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 = 𝑛𝑥𝐶) → (cos‘(𝑘 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
3433oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 = 𝑛𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
3534itgeq2dv 25268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥)
3635eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
3730, 36imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
3817adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3919adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4138, 18, 39, 20, 40fourierdlem16 44712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
4241simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
4337, 42chvarvv 2003 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
44 pire 25937 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → π ∈ ℝ)
46 0re 11203 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
47 pipos 25939 . . . . . . . . . . . . 13 0 < π
4846, 47gtneii 11313 . . . . . . . . . . . 12 π ≠ 0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → π ≠ 0)
5043, 45, 49redivcld 12029 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
5150, 20fmptd 7101 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℝ)
5251adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴:ℕ0⟶ℝ)
53 elfznn 13517 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
5453nnnn0d 12519 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5554adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5652, 55ffvelcdmd 7075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑛) ∈ ℝ)
5755nn0red 12520 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
58 fourierdlem83.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5958adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
6057, 59remulcld 11231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℝ)
6160recoscld 16074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
6256, 61remulcld 11231 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
63 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
6463anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑛 ∈ ℕ)))
65 oveq1 7403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑥))
6665fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (sin‘(𝑘 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
6766oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 = 𝑛𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
6968itgeq2dv 25268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥)
7069eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
7164, 70imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
7217adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7319adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
74 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7572, 18, 73, 21, 74fourierdlem21 44717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
7675simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
7771, 76chvarvv 2003 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
7844a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
7948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
8077, 78, 79redivcld 12029 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
8180, 21fmptd 7101 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:ℕ⟶ℝ)
8281adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
8353adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ)
8482, 83ffvelcdmd 7075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
8560resincld 16073 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
8684, 85remulcld 11231 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
8762, 86readdcld 11230 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
8828, 87fsumrecl 15667 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
8927, 88readdcld 11230 . . 3 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ)
902, 6, 7, 89fvmptd 6994 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑁) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
9120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)))
92 oveq1 7403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
9392fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(0 · 𝑥)))
9493oveq2d 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))))
9594adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))))
9695itgeq2dv 25268 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥)
9796adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 = 0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥)
9897oveq1d 7411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 0) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 / π))
9917, 18, 19, 20, 10fourierdlem16 44712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
10099simprd 497 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
10144a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℝ)
10248a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ≠ 0)
103100, 101, 102redivcld 12029 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
10491, 98, 10, 103fvmptd 6994 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴‘0) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 / π))
105 ioosscn 13373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π(,)π) ⊆ ℂ
106 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐶𝑥𝐶)
107106, 18eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐶𝑥 ∈ (-π(,)π))
108105, 107sselid 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐶𝑥 ∈ ℂ)
109108mul02d 11399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐶 → (0 · 𝑥) = 0)
110109fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐶 → (cos‘(0 · 𝑥)) = (cos‘0))
111 cos0 16080 . . . . . . . . . . . 12 (cos‘0) = 1
112110, 111eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐶 → (cos‘(0 · 𝑥)) = 1)
113112oveq2d 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐶 → ((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · 1))
114113adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · 1))
11517adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
116 ioossre 13372 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π(,)π) ⊆ ℝ
117116, 107sselid 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐶𝑥 ∈ ℝ)
118117adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
119115, 118ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
120119recnd 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
121120mulridd 11218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · 1) = (𝐹𝑥))
122114, 121eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) = (𝐹𝑥))
123122itgeq2dv 25268 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥)
124123oveq1d 7411 . . . . . 6 (𝜑 → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 / π))
125104, 124eqtrd 2773 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) = (∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 / π))
126125oveq1d 7411 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) = ((∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 / π) / 2))
12717feqmptd 6949 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
128127reseq1d 5975 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶))
12944a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐶 → π ∈ ℝ)
130129renegcld 11628 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐶 → -π ∈ ℝ)
131 ioossicc 13397 . . . . . . . . . . . . 13 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
13218, 131eqsstri 4014 . . . . . . . . . . . 12 𝐶 ⊆ (-π[,]π)
133132sseli 3976 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐶𝑥 ∈ (-π[,]π))
134 eliccre 44091 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
135130, 129, 133, 134syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐶𝑥 ∈ ℝ)
136135ssriv 3984 . . . . . . . . 9 𝐶 ⊆ ℝ
137 resmpt 6030 . . . . . . . . 9 (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
138136, 137mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
139128, 138eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝐶))
140139, 19eqeltrd 2834 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
141119, 140itgcl 25270 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
142101recnd 11229 . . . . 5 (𝜑 → π ∈ ℂ)
143 2cnd 12277 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
144 2ne0 12303 . . . . . 6 2 ≠ 0
145144a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
146141, 142, 143, 102, 145divdiv32d 12002 . . . 4 (𝜑 → ((∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 / π) / 2) = ((∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 / 2) / π))
147141, 143, 145divrecd 11980 . . . . . 6 (𝜑 → (∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 / 2) = (∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 · (1 / 2)))
148143, 145reccld 11970 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
149141, 148mulcomd 11222 . . . . . 6 (𝜑 → (∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 · (1 / 2)) = ((1 / 2) · ∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥))
150148, 119, 140itgmulc2 25320 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) · ∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥) = ∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
151147, 149, 1503eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 / 2) = ∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
152151oveq1d 7411 . . . 4 (𝜑 → ((∫𝐶(𝐹𝑥) d𝑥 / 2) / π) = (∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 / π))
153126, 146, 1523eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) = (∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 / π))
15455, 50syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
15520fvmpt2 6998 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ) → (𝐴𝑛) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
15655, 154, 155syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑛) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
157156oveq1d 7411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
158154recnd 11229 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℂ)
15961recnd 11229 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
160158, 159mulcomd 11222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)))
16155, 43syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
162161recnd 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
163142adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → π ∈ ℂ)
16448a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → π ≠ 0)
165159, 162, 163, 164divassd 12012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)))
16617ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
167117adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
168166, 167ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
169 nn0re 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
170169ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
171170, 167remulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
172171recoscld 16074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
173168, 172remulcld 11231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
17454, 173sylanl2 680 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
175 ioombl 25051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-π(,)π) ∈ dom vol
17618, 175eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐶 ∈ dom vol
177176elexi 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 ∈ V
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ V)
179 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
180 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
181178, 172, 168, 179, 180offval2 7677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
182172recnd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
183120adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
184182, 183mulcomd 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
185184mpteq2dva 5244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
186181, 185eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
187 coscn 25926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
189 ax-resscn 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ ⊆ ℂ
190136, 189sstri 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐶 ⊆ ℂ
191190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ ℂ)
192169recnd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
193192adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
194 ssid 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ ⊆ ℂ
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ℂ ⊆ ℂ)
196191, 193, 195constcncfg 44461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶𝑛) ∈ (𝐶cn→ℂ))
197191, 195idcncfg 44462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
198196, 197mulcncf 24932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
199188, 198cncfmpt1f 24399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
200 cnmbf 25145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
201176, 199, 200sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
202140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
203 1re 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
204 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
205169adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
206117adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
207205, 206remulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
208207recoscld 16074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
209208ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
210209adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
211 dmmptg 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
213204, 212eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦𝐶)
214 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
215 oveq2 7404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
216215fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
217216adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
218 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦𝐶)
219169adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
220136, 218sselid 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
221219, 220remulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
222221recoscld 16074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
223214, 217, 218, 222fvmptd 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
224223fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))))
225 abscosbd 43861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
226221, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
227224, 226eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
228213, 227syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
229228ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
230 breq2 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
231230ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
232231rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
233203, 229, 232sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
234233adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
235 bddmulibl 25325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
236201, 202, 234, 235syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
237186, 236eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
23855, 237syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
239159, 174, 238itgmulc2 25320 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥) = ∫𝐶((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) d𝑥)
240159adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
241120adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
24254, 182sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
243240, 241, 242mul12d 11410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
244240, 242mulcomd 11222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
245244oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))))
246243, 245eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))))
247246itgeq2dv 25268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥)
248239, 247eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥) = ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥)
249248oveq1d 7411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π))
250165, 249eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π))
251157, 160, 2503eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π))
25283, 80syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
25321fvmpt2 6998 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ) → (𝐵𝑛) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
25483, 252, 253syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑛) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
255254oveq1d 7411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
256252recnd 11229 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℂ)
25785recnd 11229 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
258256, 257mulcomd 11222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)))
25983, 77syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
260259recnd 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
261257, 260, 163, 164divassd 12012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)))
262119adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
263 nnre 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
264263adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
265117adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
266264, 265remulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
267266resincld 16073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
268267adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
269262, 268remulcld 11231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
27053, 269sylanl2 680 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
271177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ V)
272 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
273 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
274271, 268, 262, 272, 273offval2 7677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
275268recnd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
276120adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
277275, 276mulcomd 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
278277mpteq2dva 5244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
279274, 278eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
280 sincn 25925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
281280a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
282190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝐶 ⊆ ℂ)
283263recnd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
284194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
285282, 283, 284constcncfg 44461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥𝐶𝑛) ∈ (𝐶cn→ℂ))
286282, 284idcncfg 44462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
287285, 286mulcncf 24932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
288287adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
289281, 288cncfmpt1f 24399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
290 cnmbf 25145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
291176, 289, 290sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
292140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
293 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
294267ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → ∀𝑥𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
295 dmmptg 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑥𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
296294, 295syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
297296adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
298293, 297eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦𝐶)
299 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
300215fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
301300adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
302 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐶)
303263adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
304136, 302sselid 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
305303, 304remulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
306305resincld 16073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
307299, 301, 302, 306fvmptd 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
308307fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))))
309 abssinbd 43878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
310305, 309syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
311308, 310eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
312298, 311syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
313312ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
314 breq2 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
315314ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
316315rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
317203, 313, 316sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
318317adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
319 bddmulibl 25325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
320291, 292, 318, 319syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
321279, 320eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
32283, 321syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
323257, 270, 322itgmulc2 25320 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥) = ∫𝐶((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) d𝑥)
324257adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
32553, 275sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
326324, 241, 325mul12d 11410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
327324, 325mulcomd 11222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
328327oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
329326, 328eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
330329itgeq2dv 25268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥)
331323, 330eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥) = ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥)
332331oveq1d 7411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π))
333261, 332eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π))
334255, 258, 3333eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π))
335251, 334oveq12d 7414 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π) + (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π)))
33654, 168sylanl2 680 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
33755, 208sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
33861adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
339337, 338remulcld 11231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
340336, 339remulcld 11231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
341241, 242, 240mul13d 43862 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
342242, 241mulcomd 11222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
343342oveq2d 7412 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
344341, 343eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
345344mpteq2dva 5244 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))))
346159, 174, 238iblmulc2 25317 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))) ∈ 𝐿1)
347345, 346eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ 𝐿1)
348340, 347itgcl 25270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 ∈ ℂ)
34983, 267sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
35085adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
351349, 350remulcld 11231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
352336, 351remulcld 11231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
353241, 325, 324mul13d 43862 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
354325, 241mulcomd 11222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
355354oveq2d 7412 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
356353, 355eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
357356mpteq2dva 5244 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))))
358257, 270, 322iblmulc2 25317 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑋)) · ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))) ∈ 𝐿1)
359357, 358eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ 𝐿1)
360352, 359itgcl 25270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 ∈ ℂ)
361348, 360, 163, 164divdird 12015 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 + ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥) / π) = ((∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π) + (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 / π)))
36253nncnd 12215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
363362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℂ)
364108adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
36558recnd 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
366365ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑋 ∈ ℂ)
367363, 364, 366subdid 11657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑛 · (𝑥𝑋)) = ((𝑛 · 𝑥) − (𝑛 · 𝑋)))
368367fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) = (cos‘((𝑛 · 𝑥) − (𝑛 · 𝑋))))
369363, 364mulcld 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℂ)
370363, 366mulcld 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ)
371 cossub 16099 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ) → (cos‘((𝑛 · 𝑥) − (𝑛 · 𝑋))) = (((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
372369, 370, 371syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘((𝑛 · 𝑥) − (𝑛 · 𝑋))) = (((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
373368, 372eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) = (((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
374373oveq2d 7412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = ((𝐹𝑥) · (((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
375339recnd 11229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
376351recnd 11229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
377241, 375, 376adddid 11225 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) + ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
378374, 377eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = (((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) + ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
379378itgeq2dv 25268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 = ∫𝐶(((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) + ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) d𝑥)
380340, 347, 352, 359itgadd 25311 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶(((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) + ((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) d𝑥 = (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 + ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥))
381379, 380eqtr2d 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 + ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥) = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥)
382381oveq1d 7411 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((∫𝐶((𝐹𝑥) · ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (cos‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥 + ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) d𝑥) / π) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π))
383335, 361, 3823eqtr2d 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π))
384383sumeq2dv 15636 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π))
38557adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
386117adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
38758ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
388386, 387resubcld 11629 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
389385, 388remulcld 11231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑛 · (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
390389recoscld 16074 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ ℝ)
391336, 390remulcld 11231 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ ℝ)
392177a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ V)
393 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))))
394 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
395392, 390, 336, 393, 394offval2 7677 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) · (𝐹𝑥))))
396390recnd 11229 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ ℂ)
397396, 241mulcomd 11222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))))
398397mpteq2dva 5244 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))))
399395, 398eqtr2d 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) = ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
400187a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40183, 285syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶𝑛) ∈ (𝐶cn→ℂ))
40283, 286syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
403190a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
404365adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
405194a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
406403, 404, 405constcncfg 44461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶𝑋) ∈ (𝐶cn→ℂ))
407402, 406subcncf 24931 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ (𝑥𝑋)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
408401, 407mulcncf 24932 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
409400, 408cncfmpt1f 24399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
410 cnmbf 25145 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ MblFn)
411176, 409, 410sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ MblFn)
412140adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
413 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))))
414390ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ ℝ)
415 dmmptg 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = 𝐶)
416414, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = 𝐶)
417416adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = 𝐶)
418413, 417eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) → 𝑦𝐶)
419 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))))
420 oveq1 7403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑋) = (𝑦𝑋))
421420oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · (𝑥𝑋)) = (𝑛 · (𝑦𝑋)))
422421fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) = (cos‘(𝑛 · (𝑦𝑋))))
423422adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) = (cos‘(𝑛 · (𝑦𝑋))))
424 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐶)
42557adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
42655, 220sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
42758ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
428426, 427resubcld 11629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑋) ∈ ℝ)
429425, 428remulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑛 · (𝑦𝑋)) ∈ ℝ)
430429recoscld 16074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → (cos‘(𝑛 · (𝑦𝑋))) ∈ ℝ)
431419, 423, 424, 430fvmptd 6994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · (𝑦𝑋))))
432431fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · (𝑦𝑋)))))
433 abscosbd 43861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 · (𝑦𝑋)) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · (𝑦𝑋)))) ≤ 1)
434429, 433syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · (𝑦𝑋)))) ≤ 1)
435432, 434eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 1)
436418, 435syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 1)
437436ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 1)
438 breq2 5148 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 1))
439438ralbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 1))
440439rspcev 3611 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
441203, 437, 440sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
442 bddmulibl 25325 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
443411, 412, 441, 442syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
444399, 443eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) ∈ 𝐿1)
445391, 444itgcl 25270 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 ∈ ℂ)
44628, 142, 445, 102fsumdivc 15719 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π))
447176a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ dom vol)
448 anass 470 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) ↔ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑥𝐶)))
449 ancom 462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑥𝐶) ↔ (𝑥𝐶𝑛 ∈ (1...𝑁)))
450449anbi2i 624 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑥𝐶)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑛 ∈ (1...𝑁))))
451448, 450bitri 275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐶) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑛 ∈ (1...𝑁))))
452451, 391sylbir 234 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑛 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ ℝ)
453447, 28, 452, 444itgfsum 25313 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐶 ↦ Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥))
454453simprd 497 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥)
455454eqcomd 2739 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 = ∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥)
456455oveq1d 7411 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π) = (∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π))
457384, 446, 4563eqtr2d 2779 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π))
458153, 457oveq12d 7414 . 2 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 / π) + (∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π)))
459 fourierdlem83.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
4607adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑁 ∈ ℕ)
461 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑁) = (𝐷𝑁)
462 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝑠))) / π))
463459, 460, 461, 462dirkertrigeq 44690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝑠))) / π)))
464 oveq2 7404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑥𝑋) → (𝑛 · 𝑠) = (𝑛 · (𝑥𝑋)))
465464fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑥𝑋) → (cos‘(𝑛 · 𝑠)) = (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))
466465sumeq2sdv 15637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑥𝑋) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝑠)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))
467466oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑥𝑋) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝑠))) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))))
468467oveq1d 7411 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑥𝑋) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) / π))
469468adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑠 = (𝑥𝑋)) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) / π))
47058adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
471118, 470resubcld 11629 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
472 halfre 12413 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
473472a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → (1 / 2) ∈ ℝ)
474 fzfid 13925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (1...𝑁) ∈ Fin)
475390an32s 651 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ ℝ)
476474, 475fsumrecl 15667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ ℝ)
477473, 476readdcld 11230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ ℝ)
47844a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → π ∈ ℝ)
47948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → π ≠ 0)
480477, 478, 479redivcld 12029 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) / π) ∈ ℝ)
481463, 469, 471, 480fvmptd 6994 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) / π))
482481, 480eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
483119, 482remulcld 11231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ ℝ)
484177a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ V)
485 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))))
486 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
487484, 482, 119, 485, 486offval2 7677 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · (𝐹𝑥))))
488482recnd 11229 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) ∈ ℂ)
489488, 120mulcomd 11222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))))
490489mpteq2dva 5244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))))
491487, 490eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) = ((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
492 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))
493 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))
494194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
495 cncfss 24384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
496189, 494, 495sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
497 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
49858adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
499497, 498resubcld 11629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
500 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋))
501499, 500fmptd 7101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)):ℝ⟶ℝ)
502189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
503502, 494idcncfg 44462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
504502, 365, 494constcncfg 44461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑋) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
505503, 504subcncf 24931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
506 cncfcdm 24383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)):ℝ⟶ℝ))
507189, 505, 506sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)):ℝ⟶ℝ))
508501, 507mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
509459dirkercncf 44696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5107, 509syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
511508, 510cncfcompt 44472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
512496, 511sseldd 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
51344renegcli 11508 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
514 iccssre 13393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
515513, 44, 514mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (-π[,]π) ⊆ ℝ
516515a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
517459dirkerf 44686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
5187, 517syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
519518adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
520516sselda 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
52158adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
522520, 521resubcld 11629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
523519, 522ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
524523recnd 11229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) ∈ ℂ)
525493, 512, 516, 494, 524cncfmptssg 44460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
526132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ⊆ (-π[,]π))
527492, 525, 526, 494, 488cncfmptssg 44460 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
528 cnmbf 25145 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ MblFn)
529176, 527, 528sylancr 588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ MblFn)
530513a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
531 0red 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
532 negpilt0 43863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π < 0
533532a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -π < 0)
53447a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < π)
535530, 531, 101, 533, 534lttrd 11362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π < π)
536530, 101, 535ltled 11349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ≤ π)
537493, 512, 516, 502, 523cncfmptssg 44460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
538530, 101, 536, 537evthiccabs 44082 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑐)) ∧ ∃𝑧 ∈ (-π[,]π)∀𝑤 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑧)) ≤ (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑤))))
539538simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑐)))
540 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))))
541420fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋)))
542541adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋)))
543 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → 𝑦 ∈ (-π[,]π))
544518adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
545515, 543sselid 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → 𝑦 ∈ ℝ)
54658adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
547545, 546resubcld 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → (𝑦𝑋) ∈ ℝ)
548544, 547ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋)) ∈ ℝ)
549540, 542, 543, 548fvmptd 6994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦) = ((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋)))
550549fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))))
551550adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑦 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))))
552 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))))
553 oveq1 7403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥𝑋) = (𝑐𝑋))
554553fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))
555554adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑥 = 𝑐) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))
556 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑐 ∈ (-π[,]π))
557518adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
558515, 556sselid 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑐 ∈ ℝ)
55958adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
560558, 559resubcld 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝑐𝑋) ∈ ℝ)
561557, 560ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)) ∈ ℝ)
562552, 555, 556, 561fvmptd 6994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑐) = ((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))
563562fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑐)) = (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
564563adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑦 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑐)) = (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
565551, 564breq12d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑦 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑐)) ↔ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))))
566565ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑐)) ↔ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))))
567566rexbidva 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑐)) ↔ ∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))))
568539, 567mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
569561recnd 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)) ∈ ℂ)
570569abscld 15370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))) ∈ ℝ)
5715703adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) → (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))) ∈ ℝ)
572 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜑
573 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑐 ∈ (-π[,]π)
574 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))
575572, 573, 574nf3an 1905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
576 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))))
577482ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
578 dmmptg 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝐶 ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = 𝐶)
579577, 578syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = 𝐶)
580579adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) → dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = 𝐶)
581576, 580eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) → 𝑦𝐶)
5825813ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) → 𝑦𝐶)
583 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))))
584541adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋)))
585 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝐶) → 𝑦𝐶)
586518adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝐶) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
587136, 585sselid 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
58858adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
589587, 588resubcld 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝐶) → (𝑦𝑋) ∈ ℝ)
590586, 589ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋)) ∈ ℝ)
591583, 584, 585, 590fvmptd 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦) = ((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋)))
592591fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))))
593592adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))))
594 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) ∧ 𝑦𝐶) → ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
595132sseli 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐶𝑦 ∈ (-π[,]π))
596595adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ (-π[,]π))
597 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))) ∧ 𝑦 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
598594, 596, 597syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
599593, 598eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
6005993adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) ∧ 𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
601582, 600syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
602601ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) → (𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))))
603575, 602ralrimi 3255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))))
604 breq2 5148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))) → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))))
605604ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))) → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))))
606605rspcev 3611 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
607571, 603, 606syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋)))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
608607rexlimdv3a 3160 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑦𝑋))) ≤ (abs‘((𝐷𝑁)‘(𝑐𝑋))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ 𝑏))
609568, 608mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
610 bddmulibl 25325 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
611529, 140, 609, 610syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐶 ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
612491, 611eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) ∈ 𝐿1)
613142, 483, 612itgmulc2 25320 . . . . . 6 (𝜑 → (π · ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥) = ∫𝐶(π · ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) d𝑥)
614142adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → π ∈ ℂ)
615120, 488, 614mul13d 43862 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π)) = (π · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · (𝐹𝑥))))
616489oveq2d 7412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (π · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · (𝐹𝑥))) = (π · ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))))
617615, 616eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π)) = (π · ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))))
618617itgeq2dv 25268 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π)) d𝑥 = ∫𝐶(π · ((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)))) d𝑥)
619613, 618eqtr4d 2776 . . . . 5 (𝜑 → (π · ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥) = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π)) d𝑥)
620148adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (1 / 2) ∈ ℂ)
621620, 120mulcomd 11222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 2) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (1 / 2)))
622396an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ ℂ)
623474, 120, 622fsummulc2 15717 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))))
624623eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = ((𝐹𝑥) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))))
625621, 624oveq12d 7414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → (((1 / 2) · (𝐹𝑥)) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) = (((𝐹𝑥) · (1 / 2)) + ((𝐹𝑥) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))))
626474, 622fsumcl 15666 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))) ∈ ℂ)
627120, 620, 626adddid 11225 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) = (((𝐹𝑥) · (1 / 2)) + ((𝐹𝑥) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))))
628481oveq1d 7411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π) = ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) / π) · π))
629620, 626addcld 11220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ ℂ)
630629, 614, 479divcan1d 11978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) / π) · π) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))))
631628, 630eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) = (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π))
632631oveq2d 7412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) = ((𝐹𝑥) · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π)))
633625, 627, 6323eqtr2rd 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π)) = (((1 / 2) · (𝐹𝑥)) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))))
634633itgeq2dv 25268 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋)) · π)) d𝑥 = ∫𝐶(((1 / 2) · (𝐹𝑥)) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) d𝑥)
635 remulcl 11182 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((1 / 2) · (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
636472, 119, 635sylancr 588 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 2) · (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
637148, 119, 140iblmulc2 25317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ ((1 / 2) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
638391an32s 651 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ ℝ)
639474, 638fsumrecl 15667 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) ∈ ℝ)
640453simpld 496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) ∈ 𝐿1)
641636, 637, 639, 640itgadd 25311 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐶(((1 / 2) · (𝐹𝑥)) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋))))) d𝑥 = (∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 + ∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥))
642619, 634, 6413eqtrrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 + ∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥) = (π · ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥))
643642oveq1d 7411 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 + ∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥) / π) = ((π · ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥) / π))
644636, 637itgcl 25270 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
645639, 640itgcl 25270 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 ∈ ℂ)
646644, 645, 142, 102divdird 12015 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 + ∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥) / π) = ((∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 / π) + (∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π)))
647483, 612itgcl 25270 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥 ∈ ℂ)
648647, 142, 102divcan3d 11982 . . 3 (𝜑 → ((π · ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥) / π) = ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥)
649643, 646, 6483eqtr3d 2781 . 2 (𝜑 → ((∫𝐶((1 / 2) · (𝐹𝑥)) d𝑥 / π) + (∫𝐶Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · (𝑥𝑋)))) d𝑥 / π)) = ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥)
65090, 458, 6493eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑆𝑁) = ∫𝐶((𝐹𝑥) · ((𝐷𝑁)‘(𝑥𝑋))) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3946  ifcif 4524   class class class wbr 5144  cmpt 5227  dom cdm 5672  cres 5674  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  f cof 7655  cc 11095  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102   < clt 11235  cle 11236  cmin 11431  -cneg 11432   / cdiv 11858  cn 12199  2c2 12254  0cn0 12459  (,)cioo 13311  [,]cicc 13314  ...cfz 13471   mod cmo 13821  abscabs 15168  Σcsu 15619  sincsin 15994  cosccos 15995  πcpi 15997  cnccncf 24361  volcvol 24949  MblFncmbf 25100  𝐿1cibl 25103  citg 25104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cc 10417  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-ofr 7658  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13315  df-ioc 13316  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-bc 14250  df-hash 14278  df-shft 15001  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-limsup 15402  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-ef 15998  df-sin 16000  df-cos 16001  df-pi 16003  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-lp 22609  df-perf 22610  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-t1 22787  df-haus 22788  df-cmp 22860  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-cncf 24363  df-ovol 24950  df-vol 24951  df-mbf 25105  df-itg1 25106  df-itg2 25107  df-ibl 25108  df-itg 25109  df-0p 25156  df-limc 25352  df-dv 25353
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  44806
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