Theorem dirkertrigeqlem3 46223

Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of π. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeqlem3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dirkertrigeqlem3.a	⊢ 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3	⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeqlem3.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π)
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π))
3	2	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛 · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
4		elfzelz 13426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		2cnd 12210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
8		dirkertrigeqlem3.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		1cnd 11114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12	addcld 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
14		picn 26395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → π ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) + 1) · π) ∈ ℂ)
17	6, 16	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · (((2 · 𝐾) + 1) · π)) = ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛))
18	13, 15, 6	mulassd 11142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛) = (((2 · 𝐾) + 1) · (π · 𝑛)))
19	15, 6	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
20	11, 12, 19	adddird 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) + 1) · (π · 𝑛)) = (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))))
21	11, 19	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) ∈ ℂ)
22	12, 19	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (π · 𝑛)) ∈ ℂ)
23	21, 22	addcomd 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))) = ((1 · (π · 𝑛)) + ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛))))
24	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → π ∈ ℂ)
25	24, 5	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (1 · (π · 𝑛)) = (π · 𝑛))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (π · 𝑛)) = (π · 𝑛))
28	7, 10, 15, 6	mul4d 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) = ((2 · π) · (𝐾 · 𝑛)))
29	7, 15	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
30	10, 6	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 · 𝑛) ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · π) · (𝐾 · 𝑛)) = ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))
32	28, 31	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) = ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))
33	27, 32	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (π · 𝑛)) + ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛))) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
34	23, 33	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
35	18, 20, 34	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
36	3, 17, 35	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
37	36	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) = (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))))
38	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
40	38, 39	zmulcld 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 · 𝑛) ∈ ℤ)
41		cosper 26419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝐾 · 𝑛) ∈ ℤ) → (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))) = (cos‘(π · 𝑛)))
42	19, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))) = (cos‘(π · 𝑛)))
43	37, 42	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) = (cos‘(π · 𝑛)))
44	43	sumeq2dv 15611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)))
45	44	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))))
46	45	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
47	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
48		dirkertrigeqlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
49	48	nncnd 12148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
50		2cnd 12210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51		2ne0 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
53	49, 50, 52	divcan2d 11906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
54	53	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
55	54	oveq2d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (1...(2 · (𝑁 / 2))))
56	55	sumeq1d 15609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)))
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)))
58	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → π ∈ ℂ)
59		elfzelz 13426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → 𝑛 ∈ ℤ)
60	59	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → 𝑛 ∈ ℂ)
61	58, 60	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → (π · 𝑛) = (𝑛 · π))
62	61	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
63	62	rgen 3050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ∀𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
65	64	sumeq2d 15610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 mod 2) = 0)
67	48	nnred 12147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
69		2rp 12897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
70		mod0 13782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
71	68, 69, 70	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
72	66, 71	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
73		2re 12206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
75	48	nngt0d 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
76		2pos 12235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
78	67, 74, 75, 77	divgt0d 12064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 / 2))
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 0 < (𝑁 / 2))
80		elnnz 12485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 2)))
81	72, 79, 80	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
82		dirkertrigeqlem1 46221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
84	57, 65, 83	3eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = 0)
85	84	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = ((1 / 2) + 0))
86		halfcn 12342	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
87	86	addridi 11307	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + 0) = (1 / 2)
88	85, 87	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = (1 / 2))
89	88	oveq1d 7367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π) = ((1 / 2) / π))
90		ax-1cn 11071	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
91		2cnne0 12337	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
92		pire 26394	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
93		pipos 26396	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
94	92, 93	gt0ne0ii 11660	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
95	14, 94	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
96		divdiv1 11839	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π)))
97	90, 91, 95, 96	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π))
98	97	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π)))
99	47, 89, 98	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (1 / (2 · π)))
100	1	oveq2i 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π))
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
102	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
103	49, 102	addcld 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
104	50, 9	mulcld 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
105		peano2cn 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
107	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
108	103, 106, 107	mulassd 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
109		1cnd 11114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
110	49, 102, 104, 109	muladdd 11582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = (((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) + ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2)))))
111	49, 50, 9	mul12d 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2 · 𝐾)) = (2 · (𝑁 · 𝐾)))
112	102	mullidd 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 / 2)) = (1 / 2))
113	111, 112	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)))
114	49	mulridd 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
115	50, 9	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) = (𝐾 · 2))
116	115	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) · (1 / 2)) = ((𝐾 · 2) · (1 / 2)))
117	9, 50, 102	mulassd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 2) · (1 / 2)) = (𝐾 · (2 · (1 / 2))))
118		2cn 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
119	118, 51	recidi 11859	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
120	119	oveq2i 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 · (2 · (1 / 2))) = (𝐾 · 1)
121	9	mulridd 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
122	120, 121	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2 · (1 / 2))) = 𝐾)
123	116, 117, 122	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) · (1 / 2)) = 𝐾)
124	114, 123	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2))) = (𝑁 + 𝐾))
125	113, 124	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) + ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2)))) = (((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)) + (𝑁 + 𝐾)))
126	49, 9	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℂ)
127	50, 126	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · 𝐾)) ∈ ℂ)
128	49, 9	addcld 11138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
129	127, 102, 128	addassd 11141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)) + (𝑁 + 𝐾)) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))))
130	110, 125, 129	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))))
131	102, 128	addcld 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) ∈ ℂ)
132	127, 131	addcomd 11322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + (2 · (𝑁 · 𝐾))))
133	50, 126	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) · 2))
134	133	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + (2 · (𝑁 · 𝐾))) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)))
135	130, 132, 134	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)))
136	135	oveq1d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)) · π))
137	126, 50	mulcld 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
138	131, 137, 107	adddird 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π)))
139	126, 50, 107	mulassd 11142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π) = ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))
140	139	oveq2d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π)) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
141	136, 138, 140	3eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
142	101, 108, 141	3eqtr2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
143	142	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) = (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))))
144	131, 107	mulcld 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) ∈ ℂ)
145	48	nnzd 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
146	145, 8	zmulcld 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
147		sinper 26418	. . . . . . . 8 ⊢ (((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) ∈ ℂ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ) → (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))) = (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)))
148	144, 146, 147	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))) = (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)))
149	102, 128	addcomd 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) + (1 / 2)))
150	49, 9, 102	addassd 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝐾) + (1 / 2)) = (𝑁 + (𝐾 + (1 / 2))))
151	9, 102	addcld 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
152	49, 151	addcomd 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝐾 + (1 / 2))) = ((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁))
153	149, 150, 152	3eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) = ((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁))
154	153	oveq1d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) = (((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π))
155	154	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)))
156	143, 148, 155	3eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)))
157	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π))
158	157	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((((2 · 𝐾) + 1) · π) / 2))
159	106, 107, 50, 52	div23d 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) / 2) = ((((2 · 𝐾) + 1) / 2) · π))
160	104, 109, 50, 52	divdird 11942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) + 1) / 2) = (((2 · 𝐾) / 2) + (1 / 2)))
161	9, 50, 52	divcan3d 11909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) / 2) = 𝐾)
162	161	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) / 2) + (1 / 2)) = (𝐾 + (1 / 2)))
163	160, 162	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) + 1) / 2) = (𝐾 + (1 / 2)))
164	163	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐾) + 1) / 2) · π) = ((𝐾 + (1 / 2)) · π))
165	158, 159, 164	3eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((𝐾 + (1 / 2)) · π))
166	165	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
167	166	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))))
168	156, 167	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
169	168	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
170	151, 49, 107	adddird 11144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)))
171	170	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))))
172	171	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
173	172	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
174	49	halfcld 12373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
175	50, 174	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = ((𝑁 / 2) · 2))
176	53, 175	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 / 2) · 2))
177	176	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) = (((𝑁 / 2) · 2) · π))
178	174, 50, 107	mulassd 11142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 / 2) · 2) · π) = ((𝑁 / 2) · (2 · π)))
179	177, 178	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) = ((𝑁 / 2) · (2 · π)))
180	179	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π))))
181	180	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))))
182	181	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))))
183	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
184		1cnd 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 1 ∈ ℂ)
185	184	halfcld 12373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (1 / 2) ∈ ℂ)
186	183, 185	addcld 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
187	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → π ∈ ℂ)
188	186, 187	mulcld 11139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
189		sinper 26418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
190	188, 72, 189	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
191	182, 190	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
192	50, 107	mulcld 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
193	151, 107	mulcld 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
194	193	sincld 16041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ∈ ℂ)
195	192, 194	mulcomd 11140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π)))
196	195	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π)))
197	191, 196	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
198	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
199	151, 107, 198	divcan4d 11910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) = (𝐾 + (1 / 2)))
200	8	zred 12583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
201	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
202	201	rpreccld 12946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
203	200, 202	ltaddrpd 12969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝐾 + (1 / 2)))
204		1red 11120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
205	204	rehalfcld 12375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
206		halflt1 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) < 1
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
208	205, 204, 200, 207	ltadd2dd 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + (1 / 2)) < (𝐾 + 1))
209		btwnnz 12555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝐾 + (1 / 2)) ∧ (𝐾 + (1 / 2)) < (𝐾 + 1)) → ¬ (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℤ)
210	8, 203, 208, 209	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℤ)
211	199, 210	eqneltrd 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ)
212		sineq0 26461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0 ↔ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ))
213	193, 212	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0 ↔ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ))
214	211, 213	mtbird 325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0)
215	214	neqned 2936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ≠ 0)
216	50, 107, 52, 198	mulne0d 11776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
217	194, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 11935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
218	194, 215	dividd 11902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = 1)
219	218	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (1 / (2 · π)))
220	217, 219	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (1 / (2 · π)))
221	220	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (1 / (2 · π)))
222	197, 221	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (1 / (2 · π)))
223	169, 173, 222	3eqtrrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (1 / (2 · π)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	99, 223	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
225	46	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
226	145	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
227		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
228	227	neqned 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
229		oddfl 45404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) ≠ 0) → 𝑁 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
230	226, 228, 229	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
231	230	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (1...𝑁) = (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
232	231	sumeq1d 15609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)))
233		fvoveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(1 / 2)))
234		halffl 45422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⌊‘(1 / 2)) = 0
235	233, 234	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = 0)
236	235	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = (2 · 0))
237		2t0e0 12296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 0) = 0
238	236, 237	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = 0)
239	238	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) = (0 + 1))
240	90	addlidi 11308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
241	239, 240	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) = 1)
242	241	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = (1...1))
243	242	sumeq1d 15609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)))
244		1z 12508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
245		coscl 16038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
246	14, 245	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (cos‘π) ∈ ℂ
247		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (π · 𝑛) = (π · 1))
248	14	mulridi 11123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π · 1) = π
249	247, 248	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (π · 𝑛) = π)
250	249	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
251	250	fsum1 15656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
252	244, 246, 251	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π)
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
254		cospi 26409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘π) = -1
255	254	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (cos‘π) = -1)
256	243, 253, 255	3eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
257	256	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
258		2nn 12205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℕ)
260	67	rehalfcld 12375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
261	260	flcld 13704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
262	261	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
263		2div2e1 12268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 / 2) = 1
264	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℝ)
265	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
266	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℝ+)
267		neqne 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
268		nnne1ge2 45417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
269	48, 267, 268	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ≤ 𝑁)
270	264, 265, 266, 269	lediv1dd 12994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
271	263, 270	eqbrtrrid 5129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
272	260	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
273		flge 13711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
274	272, 244, 273	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (1 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
275	271, 274	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
276		elnnz1 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
277	262, 275, 276	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
278	259, 277	nnmulcld 12185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ ℕ)
279		nnuz 12777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
280	278, 279	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ (ℤ≥‘1))
281	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → π ∈ ℂ)
282		elfzelz 13426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
283	282	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
284	283	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
285	281, 284	mulcld 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
286	285	coscld 16042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → (cos‘(π · 𝑛)) ∈ ℂ)
287		oveq2 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) → (π · 𝑛) = (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
288	287	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))))
289	280, 286, 288	fsump1 15665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) + (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))))
290	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → π ∈ ℂ)
291		elfzelz 13426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
292	291	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
293	290, 292	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → (π · 𝑛) = (𝑛 · π))
294	293	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
295	294	sumeq2i 15607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π))
296		dirkertrigeqlem1 46221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
297	277, 296	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
298	295, 297	eqtrid 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) = 0)
299	261	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
300	50, 299	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ ℂ)
301	107, 300, 109	adddid 11143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = ((π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) + (π · 1)))
302	107, 50, 299	mul13d 45406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
303	248	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π · 1) = π)
304	302, 303	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) + (π · 1)) = (((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) + π))
305	299, 192	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) ∈ ℂ)
306	305, 107	addcomd 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) + π) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
307	301, 304, 306	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
308	307	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
309		cosper 26419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ) → (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (cos‘π))
310	107, 261, 309	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (cos‘π))
311	254	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘π) = -1)
312	308, 310, 311	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = -1)
313	312	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = -1)
314	298, 313	oveq12d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) + (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))) = (0 + -1))
315		neg1cn 12117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
316	315	addlidi 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + -1) = -1
317	316	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (0 + -1) = -1)
318	289, 314, 317	3eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
319	257, 318	pm2.61dan 812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
320	319	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
321	232, 320	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
322	321	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = ((1 / 2) + -1))
323	322	oveq1d 7367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π) = (((1 / 2) + -1) / π))
324	168, 172	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
325	324	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
326	230	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 · π) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π))
327	300, 109, 107	adddird 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + (1 · π)))
328	107	mullidd 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 · π) = π)
329	328	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + (1 · π)) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + π))
330	300, 107	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) ∈ ℂ)
331	330, 107	addcomd 11322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
332	327, 329, 331	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
333	332	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
334	50, 299	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2))
335	334	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) = (((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2) · π))
336	299, 50, 107	mulassd 11142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2) · π) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
337	335, 336	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
338	337	oveq2d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
339	338	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
340	326, 333, 339	3eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 · π) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
341	340	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
342	193	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
343	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → π ∈ ℂ)
344	305	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) ∈ ℂ)
345	342, 343, 344	addassd 11141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
346	341, 345	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
347	346	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
348	347	oveq1d 7367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
349	193, 107	addcld 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) ∈ ℂ)
350		sinper 26418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ) → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)))
351	349, 261, 350	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)))
352		sinppi 26426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
353	193, 352	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
354	351, 353	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
355	354	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
356	195	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
357	194, 194, 215	divnegd 11917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))))
358	218	negeqd 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = -1)
359	357, 358	eqtr3d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = -1)
360	359	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (-1 / (2 · π)))
361	194	negcld 11466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ∈ ℂ)
362	361, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 11935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
363	86, 90	negsubi 11446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) + -1) = ((1 / 2) − 1)
364	90, 86	negsubdi2i 11454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = ((1 / 2) − 1)
365		1mhlfehlf 12347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
366	365	negeqi 11360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = -(1 / 2)
367		divneg 11820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
368	90, 118, 51, 367	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
369	366, 368	eqtri 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = (-1 / 2)
370	363, 364, 369	3eqtr2i 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + -1) = (-1 / 2)
371	370	oveq1i 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) + -1) / π) = ((-1 / 2) / π)
372		divdiv1 11839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((-1 / 2) / π) = (-1 / (2 · π)))
373	315, 91, 95, 372	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 / 2) / π) = (-1 / (2 · π))
374	371, 373	eqtr2i 2757	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 / (2 · π)) = (((1 / 2) + -1) / π)
375	374	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 / (2 · π)) = (((1 / 2) + -1) / π))
376	360, 362, 375	3eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (((1 / 2) + -1) / π))
377	355, 356, 376	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (((1 / 2) + -1) / π))
378	377	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (((1 / 2) + -1) / π))
379	325, 348, 378	3eqtrrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + -1) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
380	225, 323, 379	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
381	224, 380	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351  -cneg 11352   / cdiv 11781  ℕcn 12132  2c2 12187  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ℝ⁺crp 12892  ...cfz 13409  ⌊cfl 13696   mod cmo 13775  Σcsu 15595  sincsin 15972  cosccos 15973  πcpi 15975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  46224