Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkertrigeqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkertrigeqlem3 44331
Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of π. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem3.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeqlem3.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
dirkertrigeqlem3.a 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem3 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeqlem3.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π)
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π))
32oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛 · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
4 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
54zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
65adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
8 dirkertrigeqlem3.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
98zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
117, 10mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
1311, 12addcld 11174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
14 picn 25816 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → π ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) + 1) · π) ∈ ℂ)
176, 16mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · (((2 · 𝐾) + 1) · π)) = ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛))
1813, 15, 6mulassd 11178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛) = (((2 · 𝐾) + 1) · (π · 𝑛)))
1915, 6mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
2011, 12, 19adddird 11180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) + 1) · (π · 𝑛)) = (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))))
2111, 19mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) ∈ ℂ)
2212, 19mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (π · 𝑛)) ∈ ℂ)
2321, 22addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))) = ((1 · (π · 𝑛)) + ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛))))
2414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → π ∈ ℂ)
2524, 5mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
2625mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (1 · (π · 𝑛)) = (π · 𝑛))
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (π · 𝑛)) = (π · 𝑛))
287, 10, 15, 6mul4d 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) = ((2 · π) · (𝐾 · 𝑛)))
297, 15mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
3010, 6mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 · 𝑛) ∈ ℂ)
3129, 30mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · π) · (𝐾 · 𝑛)) = ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))
3228, 31eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) = ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))
3327, 32oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (π · 𝑛)) + ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛))) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
3423, 33eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
3518, 20, 343eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
363, 17, 353eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
3736fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) = (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))))
388adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
394adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
4038, 39zmulcld 12613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 · 𝑛) ∈ ℤ)
41 cosper 25839 . . . . . . . . . 10 (((π · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝐾 · 𝑛) ∈ ℤ) → (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))) = (cos‘(π · 𝑛)))
4219, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))) = (cos‘(π · 𝑛)))
4337, 42eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) = (cos‘(π · 𝑛)))
4443sumeq2dv 15588 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)))
4544oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))))
4645oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
4746adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
48 dirkertrigeqlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4948nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
50 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5349, 50, 52divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
5453eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
5554oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑁) = (1...(2 · (𝑁 / 2))))
5655sumeq1d 15586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)))
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)))
5814a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → π ∈ ℂ)
59 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → 𝑛 ∈ ℤ)
6059zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → 𝑛 ∈ ℂ)
6158, 60mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → (π · 𝑛) = (𝑛 · π))
6261fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
6362rgen 3066 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π))
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ∀𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
6564sumeq2d 15587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 mod 2) = 0)
6748nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
69 2rp 12920 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
70 mod0 13781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
7168, 69, 70sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
7266, 71mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
73 2re 12227 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7548nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑁)
76 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 2)
7867, 74, 75, 77divgt0d 12090 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝑁 / 2))
7978adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 0 < (𝑁 / 2))
80 elnnz 12509 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 2)))
8172, 79, 80sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
82 dirkertrigeqlem1 44329 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
8457, 65, 833eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = 0)
8584oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = ((1 / 2) + 0))
86 halfcn 12368 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
8786addid1i 11342 . . . . . 6 ((1 / 2) + 0) = (1 / 2)
8885, 87eqtrdi 2792 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = (1 / 2))
8988oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π) = ((1 / 2) / π))
90 ax-1cn 11109 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
91 2cnne0 12363 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
92 pire 25815 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
93 pipos 25817 . . . . . . . 8 0 < π
9492, 93gt0ne0ii 11691 . . . . . . 7 π ≠ 0
9514, 94pm3.2i 471 . . . . . 6 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
96 divdiv1 11866 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π)))
9790, 91, 95, 96mp3an 1461 . . . . 5 ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π))
9897a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π)))
9947, 89, 983eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (1 / (2 · π)))
1001oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π))
101100a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
10286a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
10349, 102addcld 11174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
10450, 9mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
105 peano2cn 11327 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
10714a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℂ)
108103, 106, 107mulassd 11178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
109 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11049, 102, 104, 109muladdd 11613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = (((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) + ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2)))))
11149, 50, 9mul12d 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 · (2 · 𝐾)) = (2 · (𝑁 · 𝐾)))
112102mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · (1 / 2)) = (1 / 2))
113111, 112oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)))
11449mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
11550, 9mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝐾) = (𝐾 · 2))
116115oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝐾) · (1 / 2)) = ((𝐾 · 2) · (1 / 2)))
1179, 50, 102mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾 · 2) · (1 / 2)) = (𝐾 · (2 · (1 / 2))))
118 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
119118, 51recidi 11886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (1 / 2)) = 1
120119oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 · (2 · (1 / 2))) = (𝐾 · 1)
1219mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
122120, 121eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 · (2 · (1 / 2))) = 𝐾)
123116, 117, 1223eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝐾) · (1 / 2)) = 𝐾)
124114, 123oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2))) = (𝑁 + 𝐾))
125113, 124oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) + ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2)))) = (((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)) + (𝑁 + 𝐾)))
12649, 9mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℂ)
12750, 126mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (𝑁 · 𝐾)) ∈ ℂ)
12849, 9addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
129127, 102, 128addassd 11177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)) + (𝑁 + 𝐾)) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))))
130110, 125, 1293eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))))
131102, 128addcld 11174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) ∈ ℂ)
132127, 131addcomd 11357 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + (2 · (𝑁 · 𝐾))))
13350, 126mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑁 · 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) · 2))
134133oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + (2 · (𝑁 · 𝐾))) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)))
135130, 132, 1343eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)))
136135oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)) · π))
137126, 50mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
138131, 137, 107adddird 11180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π)))
139126, 50, 107mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π) = ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))
140139oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π)) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
141136, 138, 1403eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
142101, 108, 1413eqtr2d 2782 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
143142fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) = (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))))
144131, 107mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) ∈ ℂ)
14548nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
146145, 8zmulcld 12613 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
147 sinper 25838 . . . . . . . 8 (((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) ∈ ℂ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ) → (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))) = (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)))
148144, 146, 147syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))) = (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)))
149102, 128addcomd 11357 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) + (1 / 2)))
15049, 9, 102addassd 11177 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 𝐾) + (1 / 2)) = (𝑁 + (𝐾 + (1 / 2))))
1519, 102addcld 11174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
15249, 151addcomd 11357 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (𝐾 + (1 / 2))) = ((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁))
153149, 150, 1523eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) = ((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁))
154153oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) = (((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π))
155154fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)))
156143, 148, 1553eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)))
1571a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π))
158157oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((((2 · 𝐾) + 1) · π) / 2))
159106, 107, 50, 52div23d 11968 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) / 2) = ((((2 · 𝐾) + 1) / 2) · π))
160104, 109, 50, 52divdird 11969 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝐾) + 1) / 2) = (((2 · 𝐾) / 2) + (1 / 2)))
1619, 50, 52divcan3d 11936 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐾) / 2) = 𝐾)
162161oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝐾) / 2) + (1 / 2)) = (𝐾 + (1 / 2)))
163160, 162eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝐾) + 1) / 2) = (𝐾 + (1 / 2)))
164163oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝐾) + 1) / 2) · π) = ((𝐾 + (1 / 2)) · π))
165158, 159, 1643eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((𝐾 + (1 / 2)) · π))
166165fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
167166oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))))
168156, 167oveq12d 7375 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
169168adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
170151, 49, 107adddird 11180 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)))
171170fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))))
172171oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
173172adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
17449halfcld 12398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
17550, 174mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = ((𝑁 / 2) · 2))
17653, 175eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 = ((𝑁 / 2) · 2))
177176oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · π) = (((𝑁 / 2) · 2) · π))
178174, 50, 107mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 / 2) · 2) · π) = ((𝑁 / 2) · (2 · π)))
179177, 178eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · π) = ((𝑁 / 2) · (2 · π)))
180179oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π))))
181180fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))))
182181adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))))
1839adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
184 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 1 ∈ ℂ)
185184halfcld 12398 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (1 / 2) ∈ ℂ)
186183, 185addcld 11174 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
18714a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → π ∈ ℂ)
188186, 187mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
189 sinper 25838 . . . . . . . 8 ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
190188, 72, 189syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
191182, 190eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
19250, 107mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
193151, 107mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
194193sincld 16012 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ∈ ℂ)
195192, 194mulcomd 11176 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π)))
196195adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π)))
197191, 196oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
19894a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ≠ 0)
199151, 107, 198divcan4d 11937 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) = (𝐾 + (1 / 2)))
2008zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
20169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
202201rpreccld 12967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
203200, 202ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 < (𝐾 + (1 / 2)))
204 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
205204rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
206 halflt1 12371 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) < 1
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
208205, 204, 200, 207ltadd2dd 11314 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 + (1 / 2)) < (𝐾 + 1))
209 btwnnz 12579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝐾 + (1 / 2)) ∧ (𝐾 + (1 / 2)) < (𝐾 + 1)) → ¬ (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℤ)
2108, 203, 208, 209syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℤ)
211199, 210eqneltrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ)
212 sineq0 25880 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0 ↔ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ))
213193, 212syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0 ↔ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ))
214211, 213mtbird 324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0)
215214neqned 2950 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ≠ 0)
21650, 107, 52, 198mulne0d 11807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
217194, 194, 192, 215, 216divdiv1d 11962 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
218194, 215dividd 11929 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = 1)
219218oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (1 / (2 · π)))
220217, 219eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (1 / (2 · π)))
221220adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (1 / (2 · π)))
222197, 221eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (1 / (2 · π)))
223169, 173, 2223eqtrrd 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (1 / (2 · π)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
22499, 223eqtrd 2776 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
22546adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
226145adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
227 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
228227neqned 2950 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
229 oddfl 43501 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) ≠ 0) → 𝑁 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
230226, 228, 229syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
231230oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (1...𝑁) = (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
232231sumeq1d 15586 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)))
233 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(1 / 2)))
234 halffl 43520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⌊‘(1 / 2)) = 0
235233, 234eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = 0)
236235oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = (2 · 0))
237 2t0e0 12322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 0) = 0
238236, 237eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = 0)
239238oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) = (0 + 1))
24090addid2i 11343 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
241239, 240eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) = 1)
242241oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = (1...1))
243242sumeq1d 15586 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)))
244 1z 12533 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
245 coscl 16009 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
24614, 245ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (cos‘π) ∈ ℂ
247 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (π · 𝑛) = (π · 1))
24814mulid1i 11159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π · 1) = π
249247, 248eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (π · 𝑛) = π)
250249fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
251250fsum1 15632 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
252244, 246, 251mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π)
253252a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
254 cospi 25829 . . . . . . . . . . 11 (cos‘π) = -1
255254a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (cos‘π) = -1)
256243, 253, 2553eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
257256adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
258 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℕ)
26067rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
261260flcld 13703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
262261adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
263 2div2e1 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 / 2) = 1
26473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℝ)
26567adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
26669a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℝ+)
267 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
268 nnne1ge2 43515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
26948, 267, 268syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ≤ 𝑁)
270264, 265, 266, 269lediv1dd 13015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
271263, 270eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
272260adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
273 flge 13710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
274272, 244, 273sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (1 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
275271, 274mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
276 elnnz1 12529 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
277262, 275, 276sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
278259, 277nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ ℕ)
279 nnuz 12806 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
280278, 279eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ (ℤ‘1))
28114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → π ∈ ℂ)
282 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
283282zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
284283adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
285281, 284mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
286285coscld 16013 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → (cos‘(π · 𝑛)) ∈ ℂ)
287 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) → (π · 𝑛) = (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
288287fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))))
289280, 286, 288fsump1 15641 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) + (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))))
29014a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → π ∈ ℂ)
291 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
292291zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
293290, 292mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → (π · 𝑛) = (𝑛 · π))
294293fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
295294sumeq2i 15584 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π))
296 dirkertrigeqlem1 44329 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
297277, 296syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
298295, 297eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) = 0)
299261zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
30050, 299mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ ℂ)
301107, 300, 109adddid 11179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = ((π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) + (π · 1)))
302107, 50, 299mul13d 43503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
303248a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π · 1) = π)
304302, 303oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) + (π · 1)) = (((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) + π))
305299, 192mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) ∈ ℂ)
306305, 107addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) + π) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
307301, 304, 3063eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
308307fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
309 cosper 25839 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ) → (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (cos‘π))
310107, 261, 309syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (cos‘π))
311254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘π) = -1)
312308, 310, 3113eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = -1)
313312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = -1)
314298, 313oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) + (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))) = (0 + -1))
315 neg1cn 12267 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
316315addid2i 11343 . . . . . . . . . 10 (0 + -1) = -1
317316a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (0 + -1) = -1)
318289, 314, 3173eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
319257, 318pm2.61dan 811 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
320319adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
321232, 320eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
322321oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = ((1 / 2) + -1))
323322oveq1d 7372 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π) = (((1 / 2) + -1) / π))
324168, 172eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
325324adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
326230oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 · π) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π))
327300, 109, 107adddird 11180 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + (1 · π)))
328107mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · π) = π)
329328oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + (1 · π)) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + π))
330300, 107mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) ∈ ℂ)
331330, 107addcomd 11357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
332327, 329, 3313eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
333332adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
33450, 299mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2))
335334oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) = (((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2) · π))
336299, 50, 107mulassd 11178 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2) · π) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
337335, 336eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
338337oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
339338adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
340326, 333, 3393eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 · π) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
341340oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
342193adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
34314a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → π ∈ ℂ)
344305adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) ∈ ℂ)
345342, 343, 344addassd 11177 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
346341, 345eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
347346fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
348347oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
349193, 107addcld 11174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) ∈ ℂ)
350 sinper 25838 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ) → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)))
351349, 261, 350syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)))
352 sinppi 25846 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
353193, 352syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
354351, 353eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
355354oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
356195oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
357194, 194, 215divnegd 11944 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))))
358218negeqd 11395 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = -1)
359357, 358eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = -1)
360359oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (-1 / (2 · π)))
361194negcld 11499 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ∈ ℂ)
362361, 194, 192, 215, 216divdiv1d 11962 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
36386, 90negsubi 11479 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + -1) = ((1 / 2) − 1)
36490, 86negsubdi2i 11487 . . . . . . . . . . 11 -(1 − (1 / 2)) = ((1 / 2) − 1)
365 1mhlfehlf 12372 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
366365negeqi 11394 . . . . . . . . . . . 12 -(1 − (1 / 2)) = -(1 / 2)
367 divneg 11847 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
36890, 118, 51, 367mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 2) = (-1 / 2)
369366, 368eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 -(1 − (1 / 2)) = (-1 / 2)
370363, 364, 3693eqtr2i 2770 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + -1) = (-1 / 2)
371370oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) + -1) / π) = ((-1 / 2) / π)
372 divdiv1 11866 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((-1 / 2) / π) = (-1 / (2 · π)))
373315, 91, 95, 372mp3an 1461 . . . . . . . . 9 ((-1 / 2) / π) = (-1 / (2 · π))
374371, 373eqtr2i 2765 . . . . . . . 8 (-1 / (2 · π)) = (((1 / 2) + -1) / π)
375374a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-1 / (2 · π)) = (((1 / 2) + -1) / π))
376360, 362, 3753eqtr3d 2784 . . . . . 6 (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (((1 / 2) + -1) / π))
377355, 356, 3763eqtrd 2780 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (((1 / 2) + -1) / π))
378377adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (((1 / 2) + -1) / π))
379325, 348, 3783eqtrrd 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + -1) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
380225, 323, 3793eqtrd 2780 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
381224, 380pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695   mod cmo 13774  Σcsu 15570  sincsin 15946  cosccos 15947  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  44332
  Copyright terms: Public domain W3C validator