Theorem dirkertrigeqlem3 43270

Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of π. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeqlem3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dirkertrigeqlem3.a	⊢ 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3	⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeqlem3.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π)
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π))
3	2	oveq2d 7218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛 · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
4		elfzelz 13095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		2cnd 11891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
8		dirkertrigeqlem3.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
10	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		1cnd 10811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12	addcld 10835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
14		picn 25321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → π ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) + 1) · π) ∈ ℂ)
17	6, 16	mulcomd 10837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · (((2 · 𝐾) + 1) · π)) = ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛))
18	13, 15, 6	mulassd 10839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛) = (((2 · 𝐾) + 1) · (π · 𝑛)))
19	15, 6	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
20	11, 12, 19	adddird 10841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) + 1) · (π · 𝑛)) = (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))))
21	11, 19	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) ∈ ℂ)
22	12, 19	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (π · 𝑛)) ∈ ℂ)
23	21, 22	addcomd 11017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))) = ((1 · (π · 𝑛)) + ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛))))
24	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → π ∈ ℂ)
25	24, 5	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 10834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (1 · (π · 𝑛)) = (π · 𝑛))
27	26	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (π · 𝑛)) = (π · 𝑛))
28	7, 10, 15, 6	mul4d 11027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) = ((2 · π) · (𝐾 · 𝑛)))
29	7, 15	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
30	10, 6	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 · 𝑛) ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcomd 10837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · π) · (𝐾 · 𝑛)) = ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))
32	28, 31	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) = ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))
33	27, 32	oveq12d 7220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (π · 𝑛)) + ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛))) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
34	23, 33	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
35	18, 20, 34	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
36	3, 17, 35	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
37	36	fveq2d 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) = (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))))
38	8	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	4	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
40	38, 39	zmulcld 12271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 · 𝑛) ∈ ℤ)
41		cosper 25344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝐾 · 𝑛) ∈ ℤ) → (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))) = (cos‘(π · 𝑛)))
42	19, 40, 41	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))) = (cos‘(π · 𝑛)))
43	37, 42	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) = (cos‘(π · 𝑛)))
44	43	sumeq2dv 15250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)))
45	44	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))))
46	45	oveq1d 7217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
47	46	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
48		dirkertrigeqlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
49	48	nncnd 11829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
50		2cnd 11891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51		2ne0 11917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
53	49, 50, 52	divcan2d 11593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
54	53	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
55	54	oveq2d 7218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (1...(2 · (𝑁 / 2))))
56	55	sumeq1d 15248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)))
57	56	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)))
58	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → π ∈ ℂ)
59		elfzelz 13095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → 𝑛 ∈ ℤ)
60	59	zcnd 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → 𝑛 ∈ ℂ)
61	58, 60	mulcomd 10837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → (π · 𝑛) = (𝑛 · π))
62	61	fveq2d 6710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
63	62	rgen 3064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ∀𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
65	64	sumeq2d 15249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)))
66		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 mod 2) = 0)
67	48	nnred 11828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
69		2rp 12574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
70		mod0 13432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
71	68, 69, 70	sylancl 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
72	66, 71	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
73		2re 11887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
75	48	nngt0d 11862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
76		2pos 11916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
78	67, 74, 75, 77	divgt0d 11750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 / 2))
79	78	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 0 < (𝑁 / 2))
80		elnnz 12169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 2)))
81	72, 79, 80	sylanbrc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
82		dirkertrigeqlem1 43268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
84	57, 65, 83	3eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = 0)
85	84	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = ((1 / 2) + 0))
86		halfcn 12028	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
87	86	addid1i 11002	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + 0) = (1 / 2)
88	85, 87	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = (1 / 2))
89	88	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π) = ((1 / 2) / π))
90		ax-1cn 10770	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
91		2cnne0 12023	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
92		pire 25320	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
93		pipos 25322	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
94	92, 93	gt0ne0ii 11351	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
95	14, 94	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
96		divdiv1 11526	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π)))
97	90, 91, 95, 96	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π))
98	97	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π)))
99	47, 89, 98	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (1 / (2 · π)))
100	1	oveq2i 7213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π))
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
102	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
103	49, 102	addcld 10835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
104	50, 9	mulcld 10836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
105		peano2cn 10987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
107	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
108	103, 106, 107	mulassd 10839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
109		1cnd 10811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
110	49, 102, 104, 109	muladdd 11273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = (((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) + ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2)))))
111	49, 50, 9	mul12d 11024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2 · 𝐾)) = (2 · (𝑁 · 𝐾)))
112	102	mulid2d 10834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 / 2)) = (1 / 2))
113	111, 112	oveq12d 7220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)))
114	49	mulid1d 10833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
115	50, 9	mulcomd 10837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) = (𝐾 · 2))
116	115	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) · (1 / 2)) = ((𝐾 · 2) · (1 / 2)))
117	9, 50, 102	mulassd 10839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 2) · (1 / 2)) = (𝐾 · (2 · (1 / 2))))
118		2cn 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
119	118, 51	recidi 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
120	119	oveq2i 7213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 · (2 · (1 / 2))) = (𝐾 · 1)
121	9	mulid1d 10833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
122	120, 121	syl5eq 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2 · (1 / 2))) = 𝐾)
123	116, 117, 122	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) · (1 / 2)) = 𝐾)
124	114, 123	oveq12d 7220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2))) = (𝑁 + 𝐾))
125	113, 124	oveq12d 7220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) + ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2)))) = (((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)) + (𝑁 + 𝐾)))
126	49, 9	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℂ)
127	50, 126	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · 𝐾)) ∈ ℂ)
128	49, 9	addcld 10835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
129	127, 102, 128	addassd 10838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)) + (𝑁 + 𝐾)) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))))
130	110, 125, 129	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))))
131	102, 128	addcld 10835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) ∈ ℂ)
132	127, 131	addcomd 11017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + (2 · (𝑁 · 𝐾))))
133	50, 126	mulcomd 10837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) · 2))
134	133	oveq2d 7218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + (2 · (𝑁 · 𝐾))) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)))
135	130, 132, 134	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)))
136	135	oveq1d 7217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)) · π))
137	126, 50	mulcld 10836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
138	131, 137, 107	adddird 10841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π)))
139	126, 50, 107	mulassd 10839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π) = ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))
140	139	oveq2d 7218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π)) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
141	136, 138, 140	3eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
142	101, 108, 141	3eqtr2d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
143	142	fveq2d 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) = (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))))
144	131, 107	mulcld 10836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) ∈ ℂ)
145	48	nnzd 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
146	145, 8	zmulcld 12271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
147		sinper 25343	. . . . . . . 8 ⊢ (((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) ∈ ℂ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ) → (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))) = (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)))
148	144, 146, 147	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))) = (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)))
149	102, 128	addcomd 11017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) + (1 / 2)))
150	49, 9, 102	addassd 10838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝐾) + (1 / 2)) = (𝑁 + (𝐾 + (1 / 2))))
151	9, 102	addcld 10835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
152	49, 151	addcomd 11017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝐾 + (1 / 2))) = ((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁))
153	149, 150, 152	3eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) = ((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁))
154	153	oveq1d 7217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) = (((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π))
155	154	fveq2d 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)))
156	143, 148, 155	3eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)))
157	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π))
158	157	oveq1d 7217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((((2 · 𝐾) + 1) · π) / 2))
159	106, 107, 50, 52	div23d 11628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) / 2) = ((((2 · 𝐾) + 1) / 2) · π))
160	104, 109, 50, 52	divdird 11629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) + 1) / 2) = (((2 · 𝐾) / 2) + (1 / 2)))
161	9, 50, 52	divcan3d 11596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) / 2) = 𝐾)
162	161	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) / 2) + (1 / 2)) = (𝐾 + (1 / 2)))
163	160, 162	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) + 1) / 2) = (𝐾 + (1 / 2)))
164	163	oveq1d 7217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐾) + 1) / 2) · π) = ((𝐾 + (1 / 2)) · π))
165	158, 159, 164	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((𝐾 + (1 / 2)) · π))
166	165	fveq2d 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
167	166	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))))
168	156, 167	oveq12d 7220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
169	168	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
170	151, 49, 107	adddird 10841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)))
171	170	fveq2d 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))))
172	171	oveq1d 7217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
173	172	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
174	49	halfcld 12058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
175	50, 174	mulcomd 10837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = ((𝑁 / 2) · 2))
176	53, 175	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 / 2) · 2))
177	176	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) = (((𝑁 / 2) · 2) · π))
178	174, 50, 107	mulassd 10839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 / 2) · 2) · π) = ((𝑁 / 2) · (2 · π)))
179	177, 178	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) = ((𝑁 / 2) · (2 · π)))
180	179	oveq2d 7218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π))))
181	180	fveq2d 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))))
182	181	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))))
183	9	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
184		1cnd 10811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 1 ∈ ℂ)
185	184	halfcld 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (1 / 2) ∈ ℂ)
186	183, 185	addcld 10835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
187	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → π ∈ ℂ)
188	186, 187	mulcld 10836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
189		sinper 25343	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
190	188, 72, 189	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
191	182, 190	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
192	50, 107	mulcld 10836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
193	151, 107	mulcld 10836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
194	193	sincld 15672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ∈ ℂ)
195	192, 194	mulcomd 10837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π)))
196	195	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π)))
197	191, 196	oveq12d 7220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
198	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
199	151, 107, 198	divcan4d 11597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) = (𝐾 + (1 / 2)))
200	8	zred 12265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
201	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
202	201	rpreccld 12621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
203	200, 202	ltaddrpd 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝐾 + (1 / 2)))
204		1red 10817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
205	204	rehalfcld 12060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
206		halflt1 12031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) < 1
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
208	205, 204, 200, 207	ltadd2dd 10974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + (1 / 2)) < (𝐾 + 1))
209		btwnnz 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝐾 + (1 / 2)) ∧ (𝐾 + (1 / 2)) < (𝐾 + 1)) → ¬ (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℤ)
210	8, 203, 208, 209	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℤ)
211	199, 210	eqneltrd 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ)
212		sineq0 25385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0 ↔ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ))
213	193, 212	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0 ↔ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ))
214	211, 213	mtbird 328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0)
215	214	neqned 2942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ≠ 0)
216	50, 107, 52, 198	mulne0d 11467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
217	194, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 11622	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
218	194, 215	dividd 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = 1)
219	218	oveq1d 7217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (1 / (2 · π)))
220	217, 219	eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (1 / (2 · π)))
221	220	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (1 / (2 · π)))
222	197, 221	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (1 / (2 · π)))
223	169, 173, 222	3eqtrrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (1 / (2 · π)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	99, 223	eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
225	46	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
226	145	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
227		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
228	227	neqned 2942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
229		oddfl 42440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) ≠ 0) → 𝑁 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
230	226, 228, 229	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
231	230	oveq2d 7218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (1...𝑁) = (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
232	231	sumeq1d 15248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)))
233		fvoveq1 7225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(1 / 2)))
234		halffl 42460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⌊‘(1 / 2)) = 0
235	233, 234	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = 0)
236	235	oveq2d 7218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = (2 · 0))
237		2t0e0 11982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 0) = 0
238	236, 237	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = 0)
239	238	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) = (0 + 1))
240	90	addid2i 11003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
241	239, 240	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) = 1)
242	241	oveq2d 7218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = (1...1))
243	242	sumeq1d 15248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)))
244		1z 12190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
245		coscl 15669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
246	14, 245	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (cos‘π) ∈ ℂ
247		oveq2 7210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (π · 𝑛) = (π · 1))
248	14	mulid1i 10820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π · 1) = π
249	247, 248	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (π · 𝑛) = π)
250	249	fveq2d 6710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
251	250	fsum1 15292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
252	244, 246, 251	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π)
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
254		cospi 25334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘π) = -1
255	254	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (cos‘π) = -1)
256	243, 253, 255	3eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
257	256	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
258		2nn 11886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℕ)
260	67	rehalfcld 12060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
261	260	flcld 13356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
262	261	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
263		2div2e1 11954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 / 2) = 1
264	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℝ)
265	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
266	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℝ+)
267		neqne 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
268		nnne1ge2 42455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
269	48, 267, 268	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ≤ 𝑁)
270	264, 265, 266, 269	lediv1dd 12669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
271	263, 270	eqbrtrrid 5079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
272	260	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
273		flge 13363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
274	272, 244, 273	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (1 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
275	271, 274	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
276		elnnz1 12186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
277	262, 275, 276	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
278	259, 277	nnmulcld 11866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ ℕ)
279		nnuz 12460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
280	278, 279	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ (ℤ≥‘1))
281	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → π ∈ ℂ)
282		elfzelz 13095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
283	282	zcnd 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
284	283	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
285	281, 284	mulcld 10836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
286	285	coscld 15673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → (cos‘(π · 𝑛)) ∈ ℂ)
287		oveq2 7210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) → (π · 𝑛) = (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
288	287	fveq2d 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))))
289	280, 286, 288	fsump1 15301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) + (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))))
290	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → π ∈ ℂ)
291		elfzelz 13095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
292	291	zcnd 12266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
293	290, 292	mulcomd 10837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → (π · 𝑛) = (𝑛 · π))
294	293	fveq2d 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
295	294	sumeq2i 15246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π))
296		dirkertrigeqlem1 43268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
297	277, 296	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
298	295, 297	syl5eq 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) = 0)
299	261	zcnd 12266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
300	50, 299	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ ℂ)
301	107, 300, 109	adddid 10840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = ((π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) + (π · 1)))
302	107, 50, 299	mul13d 42442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
303	248	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π · 1) = π)
304	302, 303	oveq12d 7220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) + (π · 1)) = (((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) + π))
305	299, 192	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) ∈ ℂ)
306	305, 107	addcomd 11017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) + π) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
307	301, 304, 306	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
308	307	fveq2d 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
309		cosper 25344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ) → (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (cos‘π))
310	107, 261, 309	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (cos‘π))
311	254	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘π) = -1)
312	308, 310, 311	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = -1)
313	312	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = -1)
314	298, 313	oveq12d 7220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) + (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))) = (0 + -1))
315		neg1cn 11927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
316	315	addid2i 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + -1) = -1
317	316	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (0 + -1) = -1)
318	289, 314, 317	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
319	257, 318	pm2.61dan 813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
320	319	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
321	232, 320	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
322	321	oveq2d 7218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = ((1 / 2) + -1))
323	322	oveq1d 7217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π) = (((1 / 2) + -1) / π))
324	168, 172	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
325	324	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
326	230	oveq1d 7217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 · π) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π))
327	300, 109, 107	adddird 10841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + (1 · π)))
328	107	mulid2d 10834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 · π) = π)
329	328	oveq2d 7218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + (1 · π)) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + π))
330	300, 107	mulcld 10836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) ∈ ℂ)
331	330, 107	addcomd 11017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
332	327, 329, 331	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
333	332	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
334	50, 299	mulcomd 10837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2))
335	334	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) = (((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2) · π))
336	299, 50, 107	mulassd 10839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2) · π) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
337	335, 336	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
338	337	oveq2d 7218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
339	338	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
340	326, 333, 339	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 · π) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
341	340	oveq2d 7218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
342	193	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
343	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → π ∈ ℂ)
344	305	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) ∈ ℂ)
345	342, 343, 344	addassd 10838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
346	341, 345	eqtr4d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
347	346	fveq2d 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
348	347	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
349	193, 107	addcld 10835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) ∈ ℂ)
350		sinper 25343	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ) → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)))
351	349, 261, 350	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)))
352		sinppi 25351	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
353	193, 352	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
354	351, 353	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
355	354	oveq1d 7217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
356	195	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
357	194, 194, 215	divnegd 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))))
358	218	negeqd 11055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = -1)
359	357, 358	eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = -1)
360	359	oveq1d 7217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (-1 / (2 · π)))
361	194	negcld 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ∈ ℂ)
362	361, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 11622	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
363	86, 90	negsubi 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) + -1) = ((1 / 2) − 1)
364	90, 86	negsubdi2i 11147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = ((1 / 2) − 1)
365		1mhlfehlf 12032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
366	365	negeqi 11054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = -(1 / 2)
367		divneg 11507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
368	90, 118, 51, 367	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
369	366, 368	eqtri 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 − (1 / 2)) = (-1 / 2)
370	363, 364, 369	3eqtr2i 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + -1) = (-1 / 2)
371	370	oveq1i 7212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) + -1) / π) = ((-1 / 2) / π)
372		divdiv1 11526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((-1 / 2) / π) = (-1 / (2 · π)))
373	315, 91, 95, 372	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 / 2) / π) = (-1 / (2 · π))
374	371, 373	eqtr2i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 / (2 · π)) = (((1 / 2) + -1) / π)
375	374	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 / (2 · π)) = (((1 / 2) + -1) / π))
376	360, 362, 375	3eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (((1 / 2) + -1) / π))
377	355, 356, 376	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (((1 / 2) + -1) / π))
378	377	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (((1 / 2) + -1) / π))
379	325, 348, 378	3eqtrrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + -1) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
380	225, 323, 379	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
381	224, 380	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ∀wral 3054   class class class wbr 5043  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717   < clt 10850   ≤ cle 10851   − cmin 11045  -cneg 11046   / cdiv 11472  ℕcn 11813  2c2 11868  ℤcz 12159  ℤ_≥cuz 12421  ℝ⁺crp 12569  ...cfz 13078  ⌊cfl 13348   mod cmo 13425  Σcsu 15232  sincsin 15606  cosccos 15607  πcpi 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790  ax-addf 10791  ax-mulf 10792

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-er 8380  df-map 8499  df-pm 8500  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-fi 9016  df-sup 9047  df-inf 9048  df-oi 9115  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-q 12528  df-rp 12570  df-xneg 12687  df-xadd 12688  df-xmul 12689  df-ioo 12922  df-ioc 12923  df-ico 12924  df-icc 12925  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-fl 13350  df-mod 13426  df-seq 13558  df-exp 13619  df-fac 13823  df-bc 13852  df-hash 13880  df-shft 14613  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-limsup 15015  df-clim 15032  df-rlim 15033  df-sum 15233  df-ef 15610  df-sin 15612  df-cos 15613  df-pi 15615  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-starv 16782  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-unif 16790  df-hom 16791  df-cco 16792  df-rest 16899  df-topn 16900  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-topgen 16920  df-pt 16921  df-prds 16924  df-xrs 16979  df-qtop 16984  df-imas 16985  df-xps 16987  df-mre 17061  df-mrc 17062  df-acs 17064  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-submnd 18191  df-mulg 18461  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-psmet 20327  df-xmet 20328  df-met 20329  df-bl 20330  df-mopn 20331  df-fbas 20332  df-fg 20333  df-cnfld 20336  df-top 21763  df-topon 21780  df-topsp 21802  df-bases 21815  df-cld 21888  df-ntr 21889  df-cls 21890  df-nei 21967  df-lp 22005  df-perf 22006  df-cn 22096  df-cnp 22097  df-haus 22184  df-tx 22431  df-hmeo 22624  df-fil 22715  df-fm 22807  df-flim 22808  df-flf 22809  df-xms 23190  df-ms 23191  df-tms 23192  df-cncf 23747  df-limc 24735  df-dv 24736

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  43271