Theorem mul12d 11425

Description: Commutative/associative law that swaps the first two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem mul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul12 11381	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   · cmul 11111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-mulcom 11170  ax-mulass 11172

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415

This theorem is used by:  divrec  11894  remullem  15186  sqreulem  15418  cvgrat  15944  binomrisefac  16102  tanval3  16196  sinadd  16226  dvdsmulgcd  16620  lcmgcdlem  16670  cncongr1  16731  prmdiv  16850  vdwlem6  17052  itgmulc2  26004  dvexp3  26148  aaliou3lem8  26519  dvradcnv  26595  pserdvlem2  26602  abelthlem6  26610  abelthlem7  26612  tangtx  26681  tanarg  26795  dvcxp1  26916  dvcncxp1  26919  heron  27014  dcubic1  27021  mcubic  27023  dquart  27029  quart1  27032  quartlem1  27033  asinsin  27068  lgamgulmlem2  27205  basellem3  27258  bcp1ctr  27454  gausslemma2dlem6  27547  lgseisenlem2  27551  lgseisenlem4  27553  lgsquadlem1  27555  2sqlem4  27596  chebbnd1lem3  27646  rpvmasum2  27687  mulog2sumlem3  27711  selberglem1  27720  selberg4lem1  27735  selberg3r  27744  selberg34r  27746  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem6  27758  pntlemr  27777  pntlemk  27781  ostth2lem3  27810  colinearalglem4  29270  branmfn  32468  constrrtlc1  34131  constrrtcclem  34133  constrmulcl  34170  cos9thpiminplylem2  34182  vtsprod  35035  hgt750leme  35054  faclimlem1  36243  itgmulc2nc  38367  areacirclem1  38387  3factsumint2  42817  lcmineqlem10  42833  lcmineqlem11  42834  posbezout  42895  readvrec2  43150  pellexlem6  43589  pell1234qrmulcl  43610  rmxyadd  43676  jm2.18  43743  jm2.19lem1  43744  jm2.22  43750  jm2.20nn  43752  proot1ex  43951  sqrtcval  44395  ofmul12  45063  binomcxplemnotnn0  45094  sineq0ALT  45673  mul13d  46027  stoweidlem11  46753  wallispi2lem1  46813  stirlinglem1  46816  stirlinglem3  46818  stirlinglem7  46822  stirlinglem15  46830  dirkertrigeqlem3  46842  dirkercncflem2  46846  fourierdlem66  46914  fourierdlem83  46931  etransclem23  46999  cos3t  47637  sin5tlem3  47640  mod42tp1mod8  48382  nprmdvdsfacm1lem1  48400  fppr2odd  48524  2zlidl  49033  itcovalt2lem2lem2  49482  itsclc0yqsollem1  49570  itscnhlc0xyqsol  49573  itscnhlinecirc02plem1  49590