Theorem nulsgtsd 27784

Description: The empty set is greater than any set of surreals. Deduction version. (Contributed by Scott Fenton, 27-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
nulsltsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
nulsltsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )

Assertion

Ref	Expression
nulsgtsd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s ∅)

Proof of Theorem nulsgtsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nulsltsd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		nulsltsd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
3	1, 2	elpwd 4548	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 No )
4		nulsgts 27782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 <<s ∅)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   No csur 27617   <<s cslts 27763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-slts 27764

This theorem is referenced by: (None)