Theorem nulsgts 27789

Description: The empty set is greater than any set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nulsgts	⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 <<s ∅)

Proof of Theorem nulsgts

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 ∈ 𝒫 No )
2		0ex 5256	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → ∅ ∈ V)
4		elpwi 4563	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 ⊆ No )
5		0ss 4354	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ No
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → ∅ ⊆ No )
7		noel 4292	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
8	7	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 No ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∅) → 𝑥 <s 𝑦)
10	1, 3, 4, 6, 9	sltsd 27781	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 <<s ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   No csur 27624   <s clts 27625   <<s cslts 27770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5640  df-slts 27771

This theorem is referenced by:  nulsgtsd  27791  0no  27822  1no  27823  bday0  27824  0lt1s  27825  bday0b  27826  bday1  27827  cutneg  27829  rightge0  27834  lltr  27875  made0  27876  elons2  28271  oncutlt  28277  oniso  28284  bdayons  28289  onaddscl  28290  onmulscl  28291  onsbnd  28294  n0cut  28347  n0bday  28365  n0fincut  28368  bdayn0p1  28382  zcuts  28420  twocut  28436  addhalfcut  28472