Theorem nulsgts 27782

Description: The empty set is greater than any set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nulsgts	⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 <<s ∅)

Proof of Theorem nulsgts

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 ∈ 𝒫 No )
2		0ex 5242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → ∅ ∈ V)
4		elpwi 4549	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 ⊆ No )
5		0ss 4341	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ No
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → ∅ ⊆ No )
7		noel 4279	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
8	7	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 No ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∅) → 𝑥 <s 𝑦)
10	1, 3, 4, 6, 9	sltsd 27774	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 No → 𝐴 <<s ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   No csur 27617   <s clts 27618   <<s cslts 27763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-slts 27764

This theorem is referenced by:  nulsgtsd  27784  0no  27815  1no  27816  bday0  27817  0lt1s  27818  bday0b  27819  bday1  27820  cutneg  27822  rightge0  27827  lltr  27868  made0  27869  elons2  28264  oncutlt  28270  oniso  28277  bdayons  28282  onaddscl  28283  onmulscl  28284  onsbnd  28287  n0cut  28340  n0bday  28358  n0fincut  28361  bdayn0p1  28375  zcuts  28413  twocut  28429  addhalfcut  28465