Theorem nnadjoin 4520

Description: Adjoining a new element to every member of L does not change its size. Theorem X.1.39 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnadjoin	|- ((N e. Nn /\ L e. N /\ X e. ∼ U.L) -> {x | E.b e. L x = (b u. {X})} e. N)

Distinct variable groups:   L,b,x   X,b,x

Allowed substitution hints:   N(x,b)

Proof of Theorem nnadjoin

Dummy variables l y n a c k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3744	. . . . . . . . . . 11 |- (y = X -> {y} = {X})
2	1	uneq2d 3418	. . . . . . . . . 10 |- (y = X -> (b u. {y}) = (b u. {X}))
3	2	eqeq2d 2364	. . . . . . . . 9 |- (y = X -> (x = (b u. {y}) <-> x = (b u. {X})))
4	3	rexbidv 2635	. . . . . . . 8 |- (y = X -> (E.b e. L x = (b u. {y}) <-> E.b e. L x = (b u. {X})))
5	4	abbidv 2467	. . . . . . 7 |- (y = X -> {x | E.b e. L x = (b u. {y})} = {x | E.b e. L x = (b u. {X})})
6	5	eleq1d 2419	. . . . . 6 |- (y = X -> ({x | E.b e. L x = (b u. {y})} e. N <-> {x | E.b e. L x = (b u. {X})} e. N))
7	6	imbi2d 307	. . . . 5 |- (y = X -> ((L e. N -> {x | E.b e. L x = (b u. {y})} e. N) <-> (L e. N -> {x | E.b e. L x = (b u. {X})} e. N)))
8	7	imbi2d 307	. . . 4 |- (y = X -> ((N e. Nn -> (L e. N -> {x | E.b e. L x = (b u. {y})} e. N)) <-> (N e. Nn -> (L e. N -> {x | E.b e. L x = (b u. {X})} e. N))))
9		nnadjoinlem1 4519	. . . . . . 7 |- {n | A.l e. n (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n)} e. _V
10		eleq2 2414	. . . . . . . . . . 11 |- (n = 0c -> ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n <-> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. 0c))
11		el0c 4421	. . . . . . . . . . . 12 |- ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. 0c <-> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} = (/))
12		ab0 3569	. . . . . . . . . . . 12 |- ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} = (/) <-> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))
13	11, 12	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 |- ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. 0c <-> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))
14	10, 13	syl6bb 252	. . . . . . . . . 10 |- (n = 0c -> ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n <-> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y})))
15	14	imbi2d 307	. . . . . . . . 9 |- (n = 0c -> ((y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))))
16	15	raleqbi1dv 2815	. . . . . . . 8 |- (n = 0c -> (A.l e. n (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> A.l e. 0c (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))))
17		df-ral 2619	. . . . . . . . 9 |- (A.l e. 0c (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y})) <-> A.l(l e. 0c -> (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))))
18		el0c 4421	. . . . . . . . . . 11 |- (l e. 0c <-> l = (/))
19	18	imbi1i 315	. . . . . . . . . 10 |- ((l e. 0c -> (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))) <-> (l = (/) -> (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))))
20	19	albii 1566	. . . . . . . . 9 |- (A.l(l e. 0c -> (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))) <-> A.l(l = (/) -> (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))))
21		0ex 4110	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
22		unieq 3900	. . . . . . . . . . . . 13 |- (l = (/) -> U.l = U.(/))
23	22	compleqd 3245	. . . . . . . . . . . 12 |- (l = (/) -> ∼ U.l = ∼ U.(/))
24	23	eleq2d 2420	. . . . . . . . . . 11 |- (l = (/) -> (y e. ∼ U.l <-> y e. ∼ U.(/)))
25		rexeq 2808	. . . . . . . . . . . . 13 |- (l = (/) -> (E.b e. l x = (b u. {y}) <-> E.b e. (/) x = (b u. {y})))
26	25	notbid 285	. . . . . . . . . . . 12 |- (l = (/) -> (-. E.b e. l x = (b u. {y}) <-> -. E.b e. (/) x = (b u. {y})))
27	26	albidv 1625	. . . . . . . . . . 11 |- (l = (/) -> (A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}) <-> A.x -. E.b e. (/) x = (b u. {y})))
28	24, 27	imbi12d 311	. . . . . . . . . 10 |- (l = (/) -> ((y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y})) <-> (y e. ∼ U.(/) -> A.x -. E.b e. (/) x = (b u. {y}))))
29	21, 28	ceqsalv 2885	. . . . . . . . 9 |- (A.l(l = (/) -> (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y}))) <-> (y e. ∼ U.(/) -> A.x -. E.b e. (/) x = (b u. {y})))
30	17, 20, 29	3bitrri 263	. . . . . . . 8 |- ((y e. ∼ U.(/) -> A.x -. E.b e. (/) x = (b u. {y})) <-> A.l e. 0c (y e. ∼ U.l -> A.x -. E.b e. l x = (b u. {y})))
31	16, 30	syl6bbr 254	. . . . . . 7 |- (n = 0c -> (A.l e. n (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> (y e. ∼ U.(/) -> A.x -. E.b e. (/) x = (b u. {y}))))
32		eleq2 2414	. . . . . . . . 9 |- (n = k -> ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n <-> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k))
33	32	imbi2d 307	. . . . . . . 8 |- (n = k -> ((y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k)))
34	33	raleqbi1dv 2815	. . . . . . 7 |- (n = k -> (A.l e. n (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k)))
35		eleq2 2414	. . . . . . . . . 10 |- (n = (k +o 1c) -> ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n <-> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. (k +o 1c)))
36	35	imbi2d 307	. . . . . . . . 9 |- (n = (k +o 1c) -> ((y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. (k +o 1c))))
37	36	raleqbi1dv 2815	. . . . . . . 8 |- (n = (k +o 1c) -> (A.l e. n (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> A.l e. (k +o 1c)(y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. (k +o 1c))))
38		unieq 3900	. . . . . . . . . . . 12 |- (l = a -> U.l = U.a)
39	38	compleqd 3245	. . . . . . . . . . 11 |- (l = a -> ∼ U.l = ∼ U.a)
40	39	eleq2d 2420	. . . . . . . . . 10 |- (l = a -> (y e. ∼ U.l <-> y e. ∼ U.a))
41		rexeq 2808	. . . . . . . . . . . 12 |- (l = a -> (E.b e. l x = (b u. {y}) <-> E.b e. a x = (b u. {y})))
42	41	abbidv 2467	. . . . . . . . . . 11 |- (l = a -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} = {x | E.b e. a x = (b u. {y})})
43	42	eleq1d 2419	. . . . . . . . . 10 |- (l = a -> ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. (k +o 1c) <-> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c)))
44	40, 43	imbi12d 311	. . . . . . . . 9 |- (l = a -> ((y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. (k +o 1c)) <-> (y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c))))
45	44	cbvralv 2835	. . . . . . . 8 |- (A.l e. (k +o 1c)(y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. (k +o 1c)) <-> A.a e. (k +o 1c)(y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c)))
46	37, 45	syl6bb 252	. . . . . . 7 |- (n = (k +o 1c) -> (A.l e. n (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> A.a e. (k +o 1c)(y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c))))
47		eleq2 2414	. . . . . . . . 9 |- (n = N -> ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n <-> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. N))
48	47	imbi2d 307	. . . . . . . 8 |- (n = N -> ((y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. N)))
49	48	raleqbi1dv 2815	. . . . . . 7 |- (n = N -> (A.l e. n (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. n) <-> A.l e. N (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. N)))
50		rex0 3563	. . . . . . . . 9 |- -. E.b e. (/) x = (b u. {y})
51	50	ax-gen 1546	. . . . . . . 8 |- A.x -. E.b e. (/) x = (b u. {y})
52	51	a1i 10	. . . . . . 7 |- (y e. ∼ U.(/) -> A.x -. E.b e. (/) x = (b u. {y}))
53		elsuc 4413	. . . . . . . . . 10 |- (a e. (k +o 1c) <-> E.c e. k E.z e. ∼ ca = (c u. {z}))
54		unieq 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (l = c -> U.l = U.c)
55	54	compleqd 3245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (l = c -> ∼ U.l = ∼ U.c)
56	55	eleq2d 2420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (l = c -> (y e. ∼ U.l <-> y e. ∼ U.c))
57		rexeq 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (l = c -> (E.b e. l x = (b u. {y}) <-> E.b e. c x = (b u. {y})))
58	57	abbidv 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (l = c -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} = {x | E.b e. c x = (b u. {y})})
59	58	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (l = c -> ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k <-> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k))
60	56, 59	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (l = c -> ((y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k) <-> (y e. ∼ U.c -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k)))
61	60	rspcv 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (c e. k -> (A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k) -> (y e. ∼ U.c -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k)))
62	61	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((c e. k /\ z e. ∼ c) -> (A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k) -> (y e. ∼ U.c -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k)))
63	62	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c)) -> (A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k) -> (y e. ∼ U.c -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k)))
64		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z}) <-> (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ U.{z}))
65		simp3l 983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ U.{z})) -> y e. ∼ U.c)
66		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- z e. _V
67	66	unisn 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- U.{z} = z
68	67	compleqi 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ∼ U.{z} = ∼ z
69	68	eleq2i 2417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. ∼ U.{z} <-> y e. ∼ z)
70	69	anbi2i 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ U.{z}) <-> (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z))
71		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k) -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k)
72		simpl2r 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> z e. ∼ c)
73	66	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (z e. ∼ c <-> -. z e. c)
74	72, 73	sylib 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> -. z e. c)
75		eleq1a 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (b e. c -> (z = b -> z e. c))
76	75	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> (z = b -> z e. c))
77	74, 76	mtod 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> -. z = b)
78		simpl3r 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> y e. ∼ z)
79		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- y e. _V
80	79	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (y e. ∼ z <-> -. y e. z)
81	78, 80	sylib 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> -. y e. z)
82		simp3l 983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) -> y e. ∼ U.c)
83	79	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (y e. ∼ U.c <-> -. y e. U.c)
84	82, 83	sylib 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) -> -. y e. U.c)
85		elunii 3896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((y e. b /\ b e. c) -> y e. U.c)
86	85	expcom 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (b e. c -> (y e. b -> y e. U.c))
87	86	con3d 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (b e. c -> (-. y e. U.c -> -. y e. b))
88	84, 87	mpan9 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> -. y e. b)
89		adj11 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((-. y e. z /\ -. y e. b) -> ((z u. {y}) = (b u. {y}) <-> z = b))
90	81, 88, 89	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> ((z u. {y}) = (b u. {y}) <-> z = b))
91	77, 90	mtbird 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ b e. c) -> -. (z u. {y}) = (b u. {y}))
92	91	nrexdv 2717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) -> -. E.b e. c (z u. {y}) = (b u. {y}))
93		eqeq1 2359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (x = (z u. {y}) -> (x = (b u. {y}) <-> (z u. {y}) = (b u. {y})))
94	93	rexbidv 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (x = (z u. {y}) -> (E.b e. c x = (b u. {y}) <-> E.b e. c (z u. {y}) = (b u. {y})))
95	94	elabg 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((z u. {y}) e. {x | E.b e. c x = (b u. {y})} -> ((z u. {y}) e. {x | E.b e. c x = (b u. {y})} <-> E.b e. c (z u. {y}) = (b u. {y})))
96	95	ibi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((z u. {y}) e. {x | E.b e. c x = (b u. {y})} -> E.b e. c (z u. {y}) = (b u. {y}))
97	92, 96	nsyl 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) -> -. (z u. {y}) e. {x | E.b e. c x = (b u. {y})})
98	97	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k) -> -. (z u. {y}) e. {x | E.b e. c x = (b u. {y})})
99		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- {y} e. _V
100	66, 99	unex 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z u. {y}) e. _V
101	100	elsuci 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (({x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k /\ -. (z u. {y}) e. {x | E.b e. c x = (b u. {y})}) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c))
102	71, 98, 101	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) /\ {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c))
103	102	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ z)) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c)))
104	70, 103	syl3an3b 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ U.{z})) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c)))
105	65, 104	embantd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c) /\ (y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ U.{z})) -> ((y e. ∼ U.c -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c)))
106	105	3expia 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c)) -> ((y e. ∼ U.c /\ y e. ∼ U.{z}) -> ((y e. ∼ U.c -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c))))
107	64, 106	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c)) -> (y e. ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z}) -> ((y e. ∼ U.c -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c))))
108	107	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c)) -> ((y e. ∼ U.c -> {x | E.b e. c x = (b u. {y})} e. k) -> (y e. ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z}) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c))))
109	63, 108	syld 40	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c)) -> (A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k) -> (y e. ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z}) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c))))
110	109	imp 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((k e. Nn /\ (c e. k /\ z e. ∼ c)) /\ A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k)) -> (y e. ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z}) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c)))
111	110	an32s 779	. . . . . . . . . . . 12 |- (((k e. Nn /\ A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k)) /\ (c e. k /\ z e. ∼ c)) -> (y e. ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z}) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c)))
112		unieq 3900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (a = (c u. {z}) -> U.a = U.(c u. {z}))
113	112	compleqd 3245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (a = (c u. {z}) -> ∼ U.a = ∼ U.(c u. {z}))
114		uniun 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U.(c u. {z}) = (U.c u. U.{z})
115	114	compleqi 3244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ∼ U.(c u. {z}) = ∼ (U.c u. U.{z})
116		iunin 3547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ∼ (U.c u. U.{z}) = ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z})
117	115, 116	eqtri 2373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ∼ U.(c u. {z}) = ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z})
118	113, 117	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (a = (c u. {z}) -> ∼ U.a = ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z}))
119	118	eleq2d 2420	. . . . . . . . . . . . 13 |- (a = (c u. {z}) -> (y e. ∼ U.a <-> y e. ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z})))
120		rexeq 2808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (a = (c u. {z}) -> (E.b e. a x = (b u. {y}) <-> E.b e. (c u. {z})x = (b u. {y})))
121	120	abbidv 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (a = (c u. {z}) -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} = {x | E.b e. (c u. {z})x = (b u. {y})})
122		unab 3521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {x | x = (z u. {y})}) = {x | (E.b e. c x = (b u. {y}) \/ x = (z u. {y}))}
123		df-sn 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- {(z u. {y})} = {x | x = (z u. {y})}
124	123	uneq2i 3415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) = ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {x | x = (z u. {y})})
125		rexun 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.b e. (c u. {z})x = (b u. {y}) <-> (E.b e. c x = (b u. {y}) \/ E.b e. {z}x = (b u. {y})))
126		uneq1 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (b = z -> (b u. {y}) = (z u. {y}))
127	126	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (b = z -> (x = (b u. {y}) <-> x = (z u. {y})))
128	66, 127	rexsn 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.b e. {z}x = (b u. {y}) <-> x = (z u. {y}))
129	128	orbi2i 505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((E.b e. c x = (b u. {y}) \/ E.b e. {z}x = (b u. {y})) <-> (E.b e. c x = (b u. {y}) \/ x = (z u. {y})))
130	125, 129	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.b e. (c u. {z})x = (b u. {y}) <-> (E.b e. c x = (b u. {y}) \/ x = (z u. {y})))
131	130	abbii 2465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- {x | E.b e. (c u. {z})x = (b u. {y})} = {x | (E.b e. c x = (b u. {y}) \/ x = (z u. {y}))}
132	122, 124, 131	3eqtr4ri 2384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- {x | E.b e. (c u. {z})x = (b u. {y})} = ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})})
133	121, 132	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (a = (c u. {z}) -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} = ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}))
134	133	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . 13 |- (a = (c u. {z}) -> ({x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c) <-> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c)))
135	119, 134	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = (c u. {z}) -> ((y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c)) <-> (y e. ( ∼ U.c i^i ∼ U.{z}) -> ({x | E.b e. c x = (b u. {y})} u. {(z u. {y})}) e. (k +o 1c))))
136	111, 135	syl5ibrcom 213	. . . . . . . . . . 11 |- (((k e. Nn /\ A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k)) /\ (c e. k /\ z e. ∼ c)) -> (a = (c u. {z}) -> (y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c))))
137	136	rexlimdvva 2745	. . . . . . . . . 10 |- ((k e. Nn /\ A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k)) -> (E.c e. k E.z e. ∼ ca = (c u. {z}) -> (y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c))))
138	53, 137	syl5bi 208	. . . . . . . . 9 |- ((k e. Nn /\ A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k)) -> (a e. (k +o 1c) -> (y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c))))
139	138	ralrimiv 2696	. . . . . . . 8 |- ((k e. Nn /\ A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k)) -> A.a e. (k +o 1c)(y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c)))
140	139	ex 423	. . . . . . 7 |- (k e. Nn -> (A.l e. k (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. k) -> A.a e. (k +o 1c)(y e. ∼ U.a -> {x | E.b e. a x = (b u. {y})} e. (k +o 1c))))
141	9, 31, 34, 46, 49, 52, 140	finds 4411	. . . . . 6 |- (N e. Nn -> A.l e. N (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. N))
142		unieq 3900	. . . . . . . . . 10 |- (l = L -> U.l = U.L)
143	142	compleqd 3245	. . . . . . . . 9 |- (l = L -> ∼ U.l = ∼ U.L)
144	143	eleq2d 2420	. . . . . . . 8 |- (l = L -> (y e. ∼ U.l <-> y e. ∼ U.L))
145		rexeq 2808	. . . . . . . . . 10 |- (l = L -> (E.b e. l x = (b u. {y}) <-> E.b e. L x = (b u. {y})))
146	145	abbidv 2467	. . . . . . . . 9 |- (l = L -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} = {x | E.b e. L x = (b u. {y})})
147	146	eleq1d 2419	. . . . . . . 8 |- (l = L -> ({x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. N <-> {x | E.b e. L x = (b u. {y})} e. N))
148	144, 147	imbi12d 311	. . . . . . 7 |- (l = L -> ((y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. N) <-> (y e. ∼ U.L -> {x | E.b e. L x = (b u. {y})} e. N)))
149	148	rspccv 2952	. . . . . 6 |- (A.l e. N (y e. ∼ U.l -> {x | E.b e. l x = (b u. {y})} e. N) -> (L e. N -> (y e. ∼ U.L -> {x | E.b e. L x = (b u. {y})} e. N)))
150	141, 149	syl 15	. . . . 5 |- (N e. Nn -> (L e. N -> (y e. ∼ U.L -> {x | E.b e. L x = (b u. {y})} e. N)))
151	150	com3r 73	. . . 4 |- (y e. ∼ U.L -> (N e. Nn -> (L e. N -> {x | E.b e. L x = (b u. {y})} e. N)))
152	8, 151	vtoclga 2920	. . 3 |- (X e. ∼ U.L -> (N e. Nn -> (L e. N -> {x | E.b e. L x = (b u. {X})} e. N)))
153	152	com3l 75	. 2 |- (N e. Nn -> (L e. N -> (X e. ∼ U.L -> {x | E.b e. L x = (b u. {X})} e. N)))
154	153	3imp 1145	1 |- ((N e. Nn /\ L e. N /\ X e. ∼ U.L) -> {x | E.b e. L x = (b u. {X})} e. N)

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   \/ wo 357   /\ wa 358   /\ w3a 934  A.wal 1540   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  A.wral 2614  E.wrex 2615   ∼ ccompl 3205   u. cun 3207   i^i cin 3208  (/)c0 3550  {csn 3737  U.cuni 3891  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0_cc0c 4374   +o cplc 4375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379

This theorem is referenced by:  nnadjoinpw  4521