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Theorem vfinspss 4551
 Description: If the universe is finite, then Spfin is a subset of its T raisings and the cardinality of the universe. Theorem X.1.59 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfinspss (V FinSpfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
Distinct variable group:   x,a

Proof of Theorem vfinspss
Dummy variables t w z n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfineq 4488 . . . . . . . . . . 11 (x = nTfin x = Tfin n)
21eqeq2d 2364 . . . . . . . . . 10 (x = n → (w = Tfin xw = Tfin n))
32cbvrexv 2836 . . . . . . . . 9 (x Spfin w = Tfin xn Spfin w = Tfin n)
4 vfinspsslem1 4550 . . . . . . . . . . . . 13 (((V Fin Tfin n Spfin ) (n Spfin Sfin (z, Tfin n))) → x Spfin z = Tfin x)
54expr 598 . . . . . . . . . . . 12 (((V Fin Tfin n Spfin ) n Spfin ) → ( Sfin (z, Tfin n) → x Spfin z = Tfin x))
6 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w = Tfin n → (w SpfinTfin n Spfin ))
76anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = Tfin n → ((V Fin w Spfin ) ↔ (V Fin Tfin n Spfin )))
87anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13 (w = Tfin n → (((V Fin w Spfin ) n Spfin ) ↔ ((V Fin Tfin n Spfin ) n Spfin )))
9 sfineq2 4527 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = Tfin n → ( Sfin (z, w) ↔ Sfin (z, Tfin n)))
109imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . 13 (w = Tfin n → (( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x) ↔ ( Sfin (z, Tfin n) → x Spfin z = Tfin x)))
118, 10imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12 (w = Tfin n → ((((V Fin w Spfin ) n Spfin ) → ( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x)) ↔ (((V Fin Tfin n Spfin ) n Spfin ) → ( Sfin (z, Tfin n) → x Spfin z = Tfin x))))
125, 11mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11 (w = Tfin n → (((V Fin w Spfin ) n Spfin ) → ( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x)))
1312com12 27 . . . . . . . . . 10 (((V Fin w Spfin ) n Spfin ) → (w = Tfin n → ( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x)))
1413rexlimdva 2738 . . . . . . . . 9 ((V Fin w Spfin ) → (n Spfin w = Tfin n → ( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x)))
153, 14syl5bi 208 . . . . . . . 8 ((V Fin w Spfin ) → (x Spfin w = Tfin x → ( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x)))
16 sfineq2 4527 . . . . . . . . . . . 12 (w = Ncfin V → ( Sfin (z, w) ↔ Sfin (z, Ncfin V)))
1716biimpa 470 . . . . . . . . . . 11 ((w = Ncfin V Sfin (z, w)) → Sfin (z, Ncfin V))
18 1cvsfin 4542 . . . . . . . . . . . 12 (V FinSfin ( Ncfin 1c, Ncfin V))
19 sfin111 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (( Sfin ( Ncfin 1c, Ncfin V) Sfin (z, Ncfin V)) → Ncfin 1c = z)
20 tncveqnc1fin 4544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (V FinTfin Ncfin V = Ncfin 1c)
2120eqcomd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (V FinNcfin 1c = Tfin Ncfin V)
22 ncvspfin 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ncfin V Spfin
23 tfineq 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (x = Ncfin V → Tfin x = Tfin Ncfin V)
2423eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (x = Ncfin V → ( Ncfin 1c = Tfin xNcfin 1c = Tfin Ncfin V))
2524rspcev 2955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( Ncfin V Spfin Ncfin 1c = Tfin Ncfin V) → x Spfin Ncfin 1c = Tfin x)
2622, 25mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Ncfin 1c = Tfin Ncfin V → x Spfin Ncfin 1c = Tfin x)
2721, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (V Finx Spfin Ncfin 1c = Tfin x)
28 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Ncfin 1c = z → ( Ncfin 1c = Tfin xz = Tfin x))
2928rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( Ncfin 1c = z → (x Spfin Ncfin 1c = Tfin xx Spfin z = Tfin x))
3029biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Ncfin 1c = z → (x Spfin Ncfin 1c = Tfin xx Spfin z = Tfin x))
3130com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14 (x Spfin Ncfin 1c = Tfin x → ( Ncfin 1c = zx Spfin z = Tfin x))
3227, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 (V Fin → ( Ncfin 1c = zx Spfin z = Tfin x))
3319, 32syl5 28 . . . . . . . . . . . 12 (V Fin → (( Sfin ( Ncfin 1c, Ncfin V) Sfin (z, Ncfin V)) → x Spfin z = Tfin x))
3418, 33mpand 656 . . . . . . . . . . 11 (V Fin → ( Sfin (z, Ncfin V) → x Spfin z = Tfin x))
3517, 34syl5 28 . . . . . . . . . 10 (V Fin → ((w = Ncfin V Sfin (z, w)) → x Spfin z = Tfin x))
3635exp3a 425 . . . . . . . . 9 (V Fin → (w = Ncfin V → ( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x)))
3736adantr 451 . . . . . . . 8 ((V Fin w Spfin ) → (w = Ncfin V → ( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x)))
3815, 37jaod 369 . . . . . . 7 ((V Fin w Spfin ) → ((x Spfin w = Tfin x w = Ncfin V) → ( Sfin (z, w) → x Spfin z = Tfin x)))
3938imp3a 420 . . . . . 6 ((V Fin w Spfin ) → (((x Spfin w = Tfin x w = Ncfin V) Sfin (z, w)) → x Spfin z = Tfin x))
40 elun 3220 . . . . . . . 8 (w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) ↔ (w {a x Spfin a = Tfin x} w { Ncfin V}))
41 vex 2862 . . . . . . . . . 10 w V
42 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . 11 (a = w → (a = Tfin xw = Tfin x))
4342rexbidv 2635 . . . . . . . . . 10 (a = w → (x Spfin a = Tfin xx Spfin w = Tfin x))
4441, 43elab 2985 . . . . . . . . 9 (w {a x Spfin a = Tfin x} ↔ x Spfin w = Tfin x)
4541elsnc 3756 . . . . . . . . 9 (w { Ncfin V} ↔ w = Ncfin V)
4644, 45orbi12i 507 . . . . . . . 8 ((w {a x Spfin a = Tfin x} w { Ncfin V}) ↔ (x Spfin w = Tfin x w = Ncfin V))
4740, 46bitri 240 . . . . . . 7 (w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) ↔ (x Spfin w = Tfin x w = Ncfin V))
4847anbi1i 676 . . . . . 6 ((w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Sfin (z, w)) ↔ ((x Spfin w = Tfin x w = Ncfin V) Sfin (z, w)))
49 vex 2862 . . . . . . 7 z V
50 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 (a = z → (a = Tfin xz = Tfin x))
5150rexbidv 2635 . . . . . . 7 (a = z → (x Spfin a = Tfin xx Spfin z = Tfin x))
5249, 51elab 2985 . . . . . 6 (z {a x Spfin a = Tfin x} ↔ x Spfin z = Tfin x)
5339, 48, 523imtr4g 261 . . . . 5 ((V Fin w Spfin ) → ((w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Sfin (z, w)) → z {a x Spfin a = Tfin x}))
54 ssun1 3426 . . . . . 6 {a x Spfin a = Tfin x} ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V})
5554sseli 3269 . . . . 5 (z {a x Spfin a = Tfin x} → z ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
5653, 55syl6 29 . . . 4 ((V Fin w Spfin ) → ((w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Sfin (z, w)) → z ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V})))
5756alrimiv 1631 . . 3 ((V Fin w Spfin ) → z((w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Sfin (z, w)) → z ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V})))
5857ralrimiva 2697 . 2 (V Finw Spfin z((w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Sfin (z, w)) → z ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V})))
59 vex 2862 . . . . . . . . 9 a V
6059elimak 4259 . . . . . . . 8 (a ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) ↔ t 1 Spfint, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))))
61 df-rex 2620 . . . . . . . . 9 (t 1 Spfint, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) ↔ t(t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
62 elpw1 4144 . . . . . . . . . . . . 13 (t 1 Spfinx Spfin t = {x})
6362anbi1i 676 . . . . . . . . . . . 12 ((t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ (x Spfin t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
64 r19.41v 2764 . . . . . . . . . . . 12 (x Spfin (t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ (x Spfin t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
6563, 64bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11 ((t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ x Spfin (t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
6665exbii 1582 . . . . . . . . . 10 (t(t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ tx Spfin (t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
67 rexcom4 2878 . . . . . . . . . 10 (x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ tx Spfin (t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
6866, 67bitr4i 243 . . . . . . . . 9 (t(t 1 Spfin t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
6961, 68bitri 240 . . . . . . . 8 (t 1 Spfint, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) ↔ x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
7060, 69bitri 240 . . . . . . 7 (a ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) ↔ x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
71 snex 4111 . . . . . . . . . 10 {x} V
72 opkeq1 4059 . . . . . . . . . . 11 (t = {x} → ⟪t, a⟫ = ⟪{x}, a⟫)
7372eleq1d 2419 . . . . . . . . . 10 (t = {x} → (⟪t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) ↔ ⟪{x}, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))))
7471, 73ceqsexv 2894 . . . . . . . . 9 (t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ ⟪{x}, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))))
75 vex 2862 . . . . . . . . . 10 x V
7675, 59eqtfinrelk 4486 . . . . . . . . 9 (⟪{x}, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) ↔ a = Tfin x)
7774, 76bitri 240 . . . . . . . 8 (t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ a = Tfin x)
7877rexbii 2639 . . . . . . 7 (x Spfin t(t = {x} t, a (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V)))) ↔ x Spfin a = Tfin x)
7970, 78bitri 240 . . . . . 6 (a ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) ↔ x Spfin a = Tfin x)
8079abbi2i 2464 . . . . 5 ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) = {a x Spfin a = Tfin x}
81 tfinrelkex 4487 . . . . . 6 (({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) V
82 spfinex 4537 . . . . . . 7 Spfin V
8382pw1ex 4303 . . . . . 6 1 Spfin V
8481, 83imakex 4300 . . . . 5 ((({{}} ×k {}) ∪ ( ∼ (( Ins2k SkIns3k (( Ins3k k Sk Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk SkIns3k (( Ins3k SIk ((1c ×k V) (( Ins3k SkIns2k SIk Sk ) “k 1111c)) ∩ Ins2k Sk ) “k 111c)) “k 1111c)) ⊕ Ins3k Ik ) “k 11c)) “k 11c)) “k 111c) ({{}} ×k V))) “k 1 Spfin ) V
8580, 84eqeltrri 2424 . . . 4 {a x Spfin a = Tfin x} V
86 snex 4111 . . . 4 { Ncfin V} V
8785, 86unex 4106 . . 3 ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) V
88 ssun2 3427 . . . 4 { Ncfin V} ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V})
89 ncfinex 4472 . . . . 5 Ncfin V V
9089snid 3760 . . . 4 Ncfin V { Ncfin V}
9188, 90sselii 3270 . . 3 Ncfin V ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V})
92 spfininduct 4540 . . 3 ((({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) V Ncfin V ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) w Spfin z((w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Sfin (z, w)) → z ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))) → Spfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
9387, 91, 92mp3an12 1267 . 2 (w Spfin z((w ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Sfin (z, w)) → z ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V})) → Spfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
9458, 93syl 15 1 (V FinSpfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∀wral 2614  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ∖ cdif 3206   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208   ⊕ csymdif 3209   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550  ℘cpw 3722  {csn 3737  ⟪copk 4057  1cc1c 4134  ℘1cpw1 4135   ×k cxpk 4174  ◡kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177   “k cimak 4179   SIk csik 4181   Sk cssetk 4183   Ik cidk 4184   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4434   Tfin ctfin 4435   Sfin wsfin 4438   Spfin cspfin 4439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-sfin 4446  df-spfin 4447 This theorem is referenced by:  vfinspeqtncv  4553
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