MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8th4div3 11099
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9850 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 8re 10952 . . . . 5 8 ∈ ℝ
32recni 9908 . . . 4 8 ∈ ℂ
4 4cn 10945 . . . 4 4 ∈ ℂ
5 3cn 10942 . . . 4 3 ∈ ℂ
6 8pos 10968 . . . . 5 0 < 8
72, 6gt0ne0ii 10413 . . . 4 8 ≠ 0
8 3ne0 10962 . . . 4 3 ≠ 0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 10634 . . 3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
101, 4mulcomi 9902 . . . 4 (1 · 4) = (4 · 1)
11 2cn 10938 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
124, 11, 5mul32i 10083 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13 4t2e8 11028 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
1413oveq1i 6537 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
1512, 14eqtr3i 2633 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
164, 5, 11mulassi 9905 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
1715, 16eqtr3i 2633 . . . . 5 (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18 3t2e6 11026 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1918oveq2i 6538 . . . . 5 (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
2017, 19eqtri 2631 . . . 4 (8 · 3) = (4 · 6)
2110, 20oveq12i 6539 . . 3 ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
229, 21eqtri 2631 . 2 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23 6re 10948 . . . 4 6 ∈ ℝ
2423recni 9908 . . 3 6 ∈ ℂ
25 6pos 10966 . . . 4 0 < 6
2623, 25gt0ne0ii 10413 . . 3 6 ≠ 0
27 4ne0 10964 . . 3 4 ≠ 0
28 divcan5 10576 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
291, 28mp3an1 1402 . . 3 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
3024, 26, 4, 27, 29mp4an 704 . 2 ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
3122, 30eqtri 2631 1 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   / cdiv 10533  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  6c6 10921  8c8 10923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator