Theorem alephgeom 9494

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 9478	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		0ss 4336	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3		0elon 6230	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephord3 9490	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
5	3, 4	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
6	2, 5	mpbii 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
7	1, 6	eqsstrrid 4004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8		peano1 7587	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
9		ordom 7575	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
10		ord0 6229	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ∅
11		ordtri1 6210	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
13	12	con2bii 360	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
14	8, 13	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ⊆ ∅
15		ndmfv 6686	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
16	15	sseq2d 3987	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
17	14, 16	mtbiri 329	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	17	con4i 114	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19		alephfnon 9477	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
20		fndm 6441	. . . 4 ⊢ (ℵ Fn On → dom ℵ = On)
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom ℵ = On
22	18, 21	eleqtrdi 2923	. 2 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
23	7, 22	impbii 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3924  ∅c0 4279  dom cdm 5541  Ord word 6176  Oncon0 6177   Fn wfn 6336  ‘cfv 6341  ωcom 7566  ℵcale 9351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-om 7567  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-oi 8960  df-har 9008  df-card 9354  df-aleph 9355

This theorem is referenced by:  alephislim  9495  cardalephex  9502  isinfcard  9504  alephval3  9522  alephval2  9980  alephadd  9985  alephmul  9986  alephexp1  9987  alephsuc3  9988  alephexp2  9989  alephreg  9990  pwcfsdom  9991  cfpwsdom  9992  gchaleph  10079  gchaleph2  10080