MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem13 26054
Description: Lemma for axlowdim 26061. Establish that 𝑃 and 𝑄 are different points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem13.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
axlowdimlem13.2 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃𝑄)

Proof of Theorem axlowdimlem13
StepHypRef Expression
1 2ne0 11325 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
21neii 2934 . . . . . . . 8 ¬ 2 = 0
3 eqcom 2767 . . . . . . . . 9 (2 = 0 ↔ 0 = 2)
4 1pneg1e0 11341 . . . . . . . . . . 11 (1 + -1) = 0
54eqcomi 2769 . . . . . . . . . 10 0 = (1 + -1)
6 df-2 11291 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
75, 6eqeq12i 2774 . . . . . . . . 9 (0 = 2 ↔ (1 + -1) = (1 + 1))
8 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
9 neg1cn 11336 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
108, 9, 8addcani 10441 . . . . . . . . 9 ((1 + -1) = (1 + 1) ↔ -1 = 1)
113, 7, 103bitri 286 . . . . . . . 8 (2 = 0 ↔ -1 = 1)
122, 11mtbi 311 . . . . . . 7 ¬ -1 = 1
1312intnanr 999 . . . . . 6 ¬ (-1 = 1 ∧ 0 = 0)
14 ax-1ne0 10217 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
1514neii 2934 . . . . . . . 8 ¬ 1 = 0
16 negeq0 10547 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → (1 = 0 ↔ -1 = 0))
178, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 = 0 ↔ -1 = 0)
1815, 17mtbi 311 . . . . . . 7 ¬ -1 = 0
1918intnanr 999 . . . . . 6 ¬ (-1 = 0 ∧ 0 = 1)
2013, 19pm3.2ni 935 . . . . 5 ¬ ((-1 = 1 ∧ 0 = 0) ∨ (-1 = 0 ∧ 0 = 1))
21 negex 10491 . . . . . 6 -1 ∈ V
22 c0ex 10246 . . . . . 6 0 ∈ V
23 1ex 10247 . . . . . 6 1 ∈ V
2421, 22, 23, 22preq12b 4526 . . . . 5 ({-1, 0} = {1, 0} ↔ ((-1 = 1 ∧ 0 = 0) ∨ (-1 = 0 ∧ 0 = 1)))
2520, 24mtbir 312 . . . 4 ¬ {-1, 0} = {1, 0}
26 3ex 11308 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
2726rnsnop 5776 . . . . . . . 8 ran {⟨3, -1⟩} = {-1}
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran {⟨3, -1⟩} = {-1})
29 elnnuz 11937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
30 eluzfz1 12561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
3129, 30sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
32 df-3 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
33 1e0p1 11764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
3432, 33eqeq12i 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 = 1 ↔ (2 + 1) = (0 + 1))
35 2cn 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
36 0cn 10244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
3735, 36, 8addcan2i 10442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 + 1) = (0 + 1) ↔ 2 = 0)
3834, 37bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 = 1 ↔ 2 = 0)
3938necon3bii 2984 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 0)
401, 39mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 1
4140necomi 2986 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 3
4231, 41jctir 562 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ (1...𝑁) ∧ 1 ≠ 3))
43 eldifsn 4462 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) ↔ (1 ∈ (1...𝑁) ∧ 1 ≠ 3))
4442, 43sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))
4544adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))
46 ne0i 4064 . . . . . . . 8 (1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → ((1...𝑁) ∖ {3}) ≠ ∅)
47 rnxp 5722 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∖ {3}) ≠ ∅ → ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) = {0})
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) = {0})
4928, 48uneq12d 3911 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran {⟨3, -1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({-1} ∪ {0}))
50 rnun 5699 . . . . . 6 ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = (ran {⟨3, -1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
51 df-pr 4324 . . . . . 6 {-1, 0} = ({-1} ∪ {0})
5249, 50, 513eqtr4g 2819 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = {-1, 0})
53 ovex 6842 . . . . . . . . 9 (𝐼 + 1) ∈ V
5453rnsnop 5776 . . . . . . . 8 ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} = {1}
5554a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} = {1})
56 nnz 11611 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
57 fzssp1 12597 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
58 zcn 11594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
59 npcan1 10667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6059oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6257, 61syl5sseq 3794 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
6356, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
6463sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
65 elfzelz 12555 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6665zred 11694 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
67 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
68 ltp1 11073 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
6967, 68ltned 10385 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
7066, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
7170adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
72 eldifsn 4462 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ↔ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
7364, 71, 72sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
74 ne0i 4064 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ≠ ∅)
75 rnxp 5722 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ≠ ∅ → ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) = {0})
7673, 74, 753syl 18 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) = {0})
7755, 76uneq12d 3911 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = ({1} ∪ {0}))
78 rnun 5699 . . . . . 6 ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = (ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
79 df-pr 4324 . . . . . 6 {1, 0} = ({1} ∪ {0})
8077, 78, 793eqtr4g 2819 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = {1, 0})
8152, 80eqeq12d 2775 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ↔ {-1, 0} = {1, 0}))
8225, 81mtbiri 316 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
83 rneq 5506 . . 3 (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) → ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8482, 83nsyl 135 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
85 axlowdimlem13.1 . . . 4 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
86 axlowdimlem13.2 . . . 4 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
8785, 86eqeq12i 2774 . . 3 (𝑃 = 𝑄 ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8887necon3abii 2978 . 2 (𝑃𝑄 ↔ ¬ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8984, 88sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  cun 3713  wss 3715  c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323  cop 4327   × cxp 5264  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  cmin 10478  -cneg 10479  cn 11232  2c2 11282  3c3 11283  cz 11589  cuz 11899  ...cfz 12539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  26056
  Copyright terms: Public domain W3C validator