MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1lem 24907
Description: Lemma for bpos1 24908. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos1.1 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
bpos1.2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) → 𝜑)
bpos1.3 𝑃 ∈ ℙ
bpos1.4 𝐴 ∈ ℕ0
bpos1.5 (𝐴 · 2) = 𝐵
bpos1.6 𝐴 < 𝑃
bpos1.7 (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
bpos1lem (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem bpos1lem
StepHypRef Expression
1 bpos1.3 . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
2 prmnn 15312 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
43nnzi 11345 . . . 4 𝑃 ∈ ℤ
5 eluzelz 11641 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluz 11645 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) ↔ 𝑃𝑁))
74, 5, 6sylancr 694 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) ↔ 𝑃𝑁))
8 bpos1.2 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑃) → 𝜑)
97, 8syl6bir 244 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝑁𝜑))
103nnrei 10973 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
12 bpos1.5 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 2) = 𝐵
13 bpos1.4 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ0
1413nn0rei 11247 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℝ
15 2re 11034 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1614, 15remulcli 9998 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 2) ∈ ℝ
1712, 16eqeltrri 2695 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 eluzelre 11642 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 remulcl 9965 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2115, 19, 20sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 bpos1.7 . . . . . . . . 9 (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵)
2310, 17leloei 10098 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐵 ↔ (𝑃 < 𝐵𝑃 = 𝐵))
2422, 23mpbir 221 . . . . . . . 8 𝑃𝐵
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃𝐵)
2613nn0cni 11248 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℂ
27 2cn 11035 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2826, 27, 12mulcomli 9991 . . . . . . . 8 (2 · 𝐴) = 𝐵
29 eluzle 11644 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴𝑁)
30 2pos 11056 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3115, 30pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32 lemul2 10820 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3314, 31, 32mp3an13 1412 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3419, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴𝑁 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁)))
3529, 34mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝑁))
3628, 35syl5eqbrr 4649 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ≤ (2 · 𝑁))
3711, 18, 21, 25, 36letrd 10138 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑁))
3837anim2i 592 . . . . 5 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
39 breq2 4617 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
40 breq1 4616 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑃 ≤ (2 · 𝑁)))
4139, 40anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁))))
4241rspcev 3295 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃𝑃 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
431, 38, 42sylancr 694 . . . 4 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
44 bpos1.1 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → 𝜑)
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝑁 < 𝑃𝑁 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝜑)
4645expcom 451 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑁 < 𝑃𝜑))
47 lelttric 10088 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃𝑁𝑁 < 𝑃))
4810, 19, 47sylancr 694 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝑁𝑁 < 𝑃))
499, 46, 48mpjaod 396 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  bpos1  24908
  Copyright terms: Public domain W3C validator