MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul2 10728
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lemul2
StepHypRef Expression
1 lemul1 10727 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
2 recn 9883 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 recn 9883 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4 mulcom 9879 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
52, 3, 4syl2an 492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
653adant2 1072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
7 recn 9883 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8 mulcom 9879 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
97, 3, 8syl2an 492 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1093adant1 1071 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
116, 10breq12d 4590 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
12113adant3r 1314 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
131, 12bitrd 266 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121
This theorem is referenced by:  lediv2  10765  lemul2i  10799  lemul2d  11751  nnlesq  12788  sqrlem6  13785  sqrlem7  13786  climcndslem2  14370  climcnds  14371  qexpz  15392  vdwlem3  15474  vdwlem9  15480  iihalf2  22488  tchcphlem1  22787  csbren  22935  trirn  22936  minveclem2  22950  itg2monolem1  23268  itg2monolem3  23270  itgabs  23352  abelthlem2  23935  pilem2  23955  logdivlti  24115  atans2  24403  leibpi  24414  log2tlbnd  24417  jensenlem2  24459  zetacvg  24486  basellem1  24552  basellem2  24553  basellem3  24554  chtub  24682  logfaclbnd  24692  bpos1lem  24752  bposlem2  24755  bposlem3  24756  bposlem4  24757  bposlem5  24758  bposlem6  24759  lgsquadlem1  24850  chebbnd1lem1  24903  chebbnd1lem3  24905  dchrisumlem1  24923  dchrisum0lem3  24953  mulog2sumlem1  24968  mulog2sumlem2  24969  chpdifbndlem1  24987  pntlemj  25037  pntlemo  25041  ostth2lem2  25068  ostth2lem3  25069  ostth3  25072  minvecolem2  26949  cdj3lem1  28511  subfaclim  30258  itgabsnc  32473  fzmul  32531  bfp  32617  irrapxlem1  36228  irrapxlem3  36230  pellfundex  36292  jm2.17b  36370  jm2.17c  36371  stoweidlem11  38728  stoweidlem26  38743  stoweidlem38  38755  lighneallem4a  39888
  Copyright terms: Public domain W3C validator