Theorem imf 14044

Description: Domain and codomain of the imaginary part function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imf	⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem imf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-im 14032	. 2 ⊢ ℑ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘(𝑥 / i)))
2		imval 14038	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) = (ℜ‘(𝑥 / i)))
3		imcl 14042	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 / i)) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 6538	1 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2131  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  ℝcr 10119  ici 10122   / cdiv 10868  ℜcre 14028  ℑcim 14029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-2 11263  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032

This theorem is referenced by:  imcn2  14523  climim  14528  rlimim  14533  caucvgr  14597  fsumim  14732  imcncf  22899  cnrehmeo  22945  ismbf  23588  ismbfcn  23589  mbfconst  23593  ismbfcn2  23597  mbfres  23602  mbfimaopnlem  23613  eff1olem  24485  ellogrn  24497  dvloglem  24585  logf1o2  24587  dvlog  24588  efopnlem2  24594  asinneg  24804  mbfresfi  33761  itgaddnc  33775  itgmulc2nc  33783  mbfres2cn  40669