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Theorem caurcvg2 14350
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caurcvg2.2 (𝜑𝐹𝑉)
caurcvg2.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caurcvg2 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11788 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 3904 . . 3 + ≠ ∅
3 caurcvg2.3 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4 r19.2z 4037 . . 3 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
52, 3, 4sylancr 694 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
6 simpl 473 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
76ralimi 2947 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
9 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
10 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
1110eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
1211rspccva 3297 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
139, 12sylan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
14 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))
1513, 14fmptd 6346 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
16 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑚))
17 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑚 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑚))
1817oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚)))
1918fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))))
2019breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
2120anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2216, 21raleqbidv 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2322cbvrexv 3163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
24 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2524eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℝ))
2624oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚)))
2726fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))))
2827breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
2925, 28anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
3029cbvralv 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
31 recn 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑖) ∈ ℝ → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3231anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3332ralimi 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3430, 33sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3534reximi 3006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3623, 35sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3736ralimi 2947 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
383, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
40 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
4140, 8cau4 14038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
4241ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
4339, 42mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
44 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
458uztrn2 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))
46 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
47 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑖) ∈ V
4846, 14, 47fvmpt 6244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
50 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
51 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑚) ∈ V
5250, 14, 51fvmpt 6244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
5449, 53oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚)) = ((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚)))
5554fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))))
5655breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
5744, 56syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
5857ralimdva 2957 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
5958reximia 3004 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
6059ralimi 2947 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
6143, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
628, 15, 61caurcvg 14349 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))))
63 eluzelz 11649 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
6463, 40eleq2s 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
6564ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
66 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑉)
6766adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹𝑉)
68 fveq2 6153 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
6968cbvmptv 4715 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑘))
708, 69climmpt 14244 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)))))
7165, 67, 70syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)))))
7262, 71mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))))
73 climrel 14165 . . . . . . . 8 Rel ⇝
7473releldmi 5327 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7572, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7675expr 642 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
777, 76syl5 34 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7877rexlimdva 3025 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7978rexlimdvw 3028 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
805, 79mpd 15 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  c0 3896   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  1c1 9889   < clt 10026  cmin 10218  cz 11329  cuz 11639  +crp 11784  abscabs 13916  lim supclsp 14143  cli 14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-ico 12131  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162
This theorem is referenced by:  iseralt  14357  cvgcmp  14486
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