Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climneg 39642
Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1 𝑘𝜑
climneg.2 𝑘𝐹
climneg.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
climneg.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climneg.5 (𝜑𝐹𝐴)
climneg.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
climneg (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climneg
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3 𝑘𝜑
2 nfmpt1 4738 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -1)
3 climneg.2 . . 3 𝑘𝐹
4 nfmpt1 4738 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
5 climneg.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climneg.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 fvex 6188 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
85, 7eqeltri 2695 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
98mptex 6471 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V)
11 1cnd 10041 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1211negcld 10364 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
13 eqidd 2621 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1))
14 eqidd 2621 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 = 𝑗) → -1 = -1)
15 id 22 . . . . . 6 (𝑗𝑍𝑗𝑍)
16 1cnd 10041 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → 1 ∈ ℂ)
1716negcld 10364 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → -1 ∈ ℂ)
1813, 14, 15, 17fvmptd 6275 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
1918adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
205, 6, 10, 12, 19climconst 14255 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ⇝ -1)
218mptex 6471 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V)
23 climneg.5 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
24 neg1cn 11109 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
25 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1)
2625fvmpt2 6278 . . . . . 6 ((𝑘𝑍 ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2724, 26mpan2 706 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2827, 24syl6eqel 2707 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
2928adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
30 climneg.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
31 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
3230negcld 10364 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
33 eqid 2620 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
3433fvmpt2 6278 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3531, 32, 34syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3630mulm1d 10467 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘))
3727eqcomd 2626 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3837adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3938oveq1d 6650 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
4035, 36, 393eqtr2d 2660 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 22, 23, 29, 30, 40climmulf 39636 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (-1 · 𝐴))
42 climcl 14211 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
4323, 42syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4443mulm1d 10467 . 2 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
4541, 44breqtrd 4670 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wnf 1706  wcel 1988  wnfc 2749  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  1c1 9922   · cmul 9926  -cneg 10252  cz 11362  cuz 11672  cli 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200
This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  39827
  Copyright terms: Public domain W3C validator