MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncrng 19699
Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncrng fld ∈ CRing

Proof of Theorem cncrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 19682 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3 cnfldadd 19683 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
43a1i 11 . . 3 (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5 cnfldmul 19684 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
65a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7 addcl 9970 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
8 addass 9975 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9 0cn 9984 . . . . 5 0 ∈ ℂ
10 addid2 10171 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
11 negcl 10233 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
12 addcom 10174 . . . . . . 7 ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
1311, 12mpancom 702 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
14 negid 10280 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1513, 14eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
161, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15isgrpi 17377 . . . 4 fld ∈ Grp
1716a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Grp)
18 mulcl 9972 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
19183adant1 1077 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
20 mulass 9976 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
2120adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
22 adddi 9977 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
2322adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
24 adddir 9983 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
2524adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
26 1cnd 10008 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
27 mulid2 9990 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
2827adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
29 mulid1 9989 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
3029adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
31 mulcom 9974 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
32313adant1 1077 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
332, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32iscrngd 18518 . 2 (⊤ → ℂfld ∈ CRing)
3433trud 1490 1 fld ∈ CRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1036   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  -cneg 10219  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  .rcmulr 15874  Grpcgrp 17354  CRingccrg 18480  fldccnfld 19678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-cmn 18127  df-mgp 18422  df-ring 18481  df-cring 18482  df-cnfld 19679
This theorem is referenced by:  cnring  19700  cnmgpabl  19739  zringcrng  19752  zring0  19760  re0g  19890  refld  19897  smadiadetr  20413  plypf1  23889  amgmlem  24633  amgm  24634  wilthlem2  24712  wilthlem3  24713  gzcrng  29648  2zrng0  41252  amgmwlem  41877  amgmlemALT  41878
  Copyright terms: Public domain W3C validator