Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmlemALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlemALT 41882
 Description: Alternative proof of amgmlem 24650 using amgmwlem 41881. (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmlemALT.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlemALT (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmlemALT.0 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2 amgmlemALT.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 amgmlemALT.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 amgmlemALT.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5 hashnncl 13113 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
73, 6mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
87nnrpd 11830 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ+)
98rpreccld 11842 . . . 4 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10 fconst6g 6061 . . . 4 ((1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12 fconstmpt 5133 . . . . . 6 (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
1413oveq2d 6631 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))))
157nnrecred 11026 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
1615recnd 10028 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
17 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18 simplr 791 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
1917, 18gsumfsum 19753 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)))
202, 16, 19syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)))
21 fsumconst 14469 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
222, 16, 21syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
237nncnd 10996 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
247nnne0d 11025 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ≠ 0)
2523, 24recidd 10756 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))) = 1)
2622, 25eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = 1)
2714, 20, 263eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = 1)
281, 2, 3, 4, 11, 27amgmwlem 41881 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
29 rpssre 11803 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 ax-resscn 9953 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 3597 . . . . 5 + ⊆ ℂ
32 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
33 cnfldbas 19690 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
341, 33mgpbas 18435 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3532, 34ressbas2 15871 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
3631, 35ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘(𝑀s+))
37 cnfld1 19711 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
381, 37ringidval 18443 . . . . 5 1 = (0g𝑀)
391oveq1i 6625 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4039rpmsubg 19750 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
41 subgsubm 17556 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
43 cnring 19708 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
44 cnfld0 19710 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
45 cndrng 19715 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4633, 44, 45drngui 18693 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
4746, 1unitsubm 18610 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
4843, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5049subsubm 17297 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
5242, 51mpbi 220 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5352simpli 474 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
54 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5532, 54subm0 17296 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
5653, 55ax-mp 5 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
5738, 56eqtri 2643 . . . 4 1 = (0g‘(𝑀s+))
58 cncrng 19707 . . . . . 6 fld ∈ CRing
591crngmgp 18495 . . . . . 6 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 𝑀 ∈ CMnd
6132submmnd 17294 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6253, 61mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6332subcmn 18182 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
6460, 62, 63sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
65 reex 9987 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6665, 29ssexi 4773 . . . . . . 7 + ∈ V
67 cnfldmul 19692 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
681, 67mgpplusg 18433 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
6932, 68ressplusg 15933 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀s+)))
7066, 69ax-mp 5 . . . . . 6 · = (+g‘(𝑀s+))
71 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
7271rpmsubg 19750 . . . . . . 7 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
731oveq1i 6625 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
74 cnex 9977 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
75 difss 3721 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
7674, 75ssexi 4773 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77 rpcndif0 11811 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7877ssriv 3592 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
79 ressabs 15879 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
8076, 78, 79mp2an 707 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8173, 80eqtr4i 2646 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
8281subggrp 17537 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀s+) ∈ Grp)
8372, 82mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Grp)
84 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
8515adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
8684, 85rpcxpcld 24410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))
8886, 87fmptd 6351 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9089rprege0d 11839 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9291rprege0d 11839 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
9316adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
94 mulcxp 24365 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
9590, 92, 93, 94syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
96 rpmulcl 11815 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9796adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
99 ovex 6643 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ V
10098, 87, 99fvmpt3i 6254 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
10197, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
102 oveq1 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
103102, 87, 99fvmpt3i 6254 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
105 oveq1 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
106105, 87, 99fvmpt3i 6254 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
10791, 106syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
108104, 107oveq12d 6633 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
10995, 101, 1083eqtr4d 2665 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦)))
11036, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109isghmd 17609 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)))
111 ghmmhm 17610 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
112110, 111syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
113 1red 10015 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1144, 2, 113fdmfifsupp 8245 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 1)
11536, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114gsummhm 18278 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
11653a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
1174ffvelrnda 6325 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
11815adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
119117, 118rpcxpcld 24410 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
121119, 120fmptd 6351 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
1222, 116, 121, 32gsumsubm 17313 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
1239adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1244feqmptd 6216 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
1252, 117, 123, 124, 13offval2 6879 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
126125oveq2d 6631 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
127102cbvmptv 4720 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
128127a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
129 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
130117, 124, 128, 129fmptco 6362 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
131130oveq2d 6631 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
132122, 126, 1313eqtr4rd 2666 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
13336, 57, 64, 2, 4, 114gsumcl 18256 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝑘 = ((𝑀s+) Σg 𝐹) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
135134, 87, 99fvmpt3i 6254 . . . . 5 (((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
136133, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
1372, 116, 4, 32gsumsubm 17313 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
138137oveq1d 6630 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
139136, 138eqtr4d 2658 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
140115, 132, 1393eqtr3d 2663 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
141117rpcnd 11834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1422, 141fsumcl 14413 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
143142, 23, 24divrecd 10764 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
1442, 16, 141fsummulc1 14464 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
145143, 144eqtr2d 2656 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)))
14616adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
147141, 146mulcld 10020 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) ∈ ℂ)
1482, 147gsumfsum 19753 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
1492, 141gsumfsum 19753 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
150149oveq1d 6630 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)))
151145, 148, 1503eqtr4d 2665 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)))
1522, 117, 146, 124, 13offval2 6879 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴)))))
153152oveq2d 6631 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))))
154124oveq2d 6631 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
155154oveq1d 6630 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)))
156151, 153, 1553eqtr4d 2665 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
15728, 140, 1563brtr3d 4654 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3190   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  {csn 4155   class class class wbr 4623   ↦ cmpt 4683   × cxp 5082   ∘ ccom 5088  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ∘𝑓 cof 6860  Fincfn 7915  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   ≤ cle 10035   / cdiv 10644  ℕcn 10980  ℝ+crp 11792  #chash 13073  Σcsu 14366  Basecbs 15800   ↾s cress 15801  +gcplusg 15881  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  Mndcmnd 17234   MndHom cmhm 17273  SubMndcsubmnd 17274  Grpcgrp 17362  SubGrpcsubg 17528   GrpHom cghm 17597  CMndccmn 18133  mulGrpcmgp 18429  Ringcrg 18487  CRingccrg 18488  ℂfldccnfld 19686  ↑𝑐ccxp 24240 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-drng 18689  df-subrg 18718  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-refld 19891  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-cmp 21130  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241  df-cxp 24242 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator