Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmlemALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlemALT 42318
Description: Alternative proof of amgmlem 24430 using amgmwlem 42317. (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmlemALT.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlemALT (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmlemALT.0 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2 amgmlemALT.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 amgmlemALT.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 amgmlemALT.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5 hashnncl 12967 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
73, 6mpbird 245 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
87nnrpd 11699 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ+)
98rpreccld 11711 . . . 4 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10 fconst6g 5989 . . . 4 ((1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12 fconstmpt 5072 . . . . . 6 (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
1413oveq2d 6540 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))))
15 hashnncl 12967 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
162, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
173, 16mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
1817nnrecred 10910 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
1918recnd 9921 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
20 simpl 471 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
21 simplr 787 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
2220, 21gsumfsum 19575 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)))
232, 19, 22syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)))
24 hashnncl 12967 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
252, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
263, 25mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
2726nnrecred 10910 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
2827recnd 9921 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
29 fsumconst 14307 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
302, 28, 29syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
31 hashnncl 12967 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
322, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
333, 32mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
3433nncnd 10880 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
35 hashnncl 12967 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
362, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
373, 36mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
3837nnne0d 10909 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ≠ 0)
3934, 38recidd 10642 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))) = 1)
4030, 39eqtrd 2640 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (#‘𝐴)) = 1)
4114, 23, 403eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = 1)
421, 2, 3, 4, 11, 41amgmwlem 42317 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
43 rpssre 11672 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
44 ax-resscn 9846 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3573 . . . . 5 + ⊆ ℂ
46 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
47 cnfldbas 19514 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
481, 47mgpbas 18261 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
4946, 48ressbas2 15701 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
5045, 49ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘(𝑀s+))
51 cnfld1 19533 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
521, 51ringidval 18269 . . . . 5 1 = (0g𝑀)
531oveq1i 6534 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
5453rpmsubg 19572 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
55 subgsubm 17382 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
57 cnring 19530 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
58 cnfld0 19532 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
59 cndrng 19537 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
6047, 58, 59drngui 18519 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
6160, 1unitsubm 18436 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
6257, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
63 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
6463subsubm 17123 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
6562, 64ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
6656, 65mpbi 218 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
6766simpli 472 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
68 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝑀s+) = (𝑀s+)
69 eqid 2606 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
7068, 69subm0 17122 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
7167, 70ax-mp 5 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
7252, 71eqtri 2628 . . . 4 1 = (0g‘(𝑀s+))
73 cncrng 19529 . . . . . 6 fld ∈ CRing
741crngmgp 18321 . . . . . 6 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
7573, 74ax-mp 5 . . . . 5 𝑀 ∈ CMnd
761oveq1i 6534 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
7776rpmsubg 19572 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
78 subgsubm 17382 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
8047, 58, 59drngui 18519 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
8180, 1unitsubm 18436 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
8257, 81ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
83 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
8483subsubm 17123 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
8582, 84ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
8679, 85mpbi 218 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
8786simpli 472 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
88 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝑀s+) = (𝑀s+)
8988submmnd 17120 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
9087, 89mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
91 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
9291subcmn 18008 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
9375, 90, 92sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
941oveq1i 6534 . . . . . . . . 9 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
9594rpmsubg 19572 . . . . . . . 8 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
96 subgsubm 17382 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . 7 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
9847, 58, 59drngui 18519 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
9998, 1unitsubm 18436 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
10057, 99ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
101 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
102101subsubm 17123 . . . . . . . 8 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
103100, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
10497, 103mpbi 218 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
105104simpli 472 . . . . 5 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
106 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
107106submmnd 17120 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
108105, 107mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
10943, 44sstri 3573 . . . . . . 7 + ⊆ ℂ
110 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (𝑀s+)
1111, 47mgpbas 18261 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘𝑀)
112110, 111ressbas2 15701 . . . . . . 7 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
113109, 112ax-mp 5 . . . . . 6 + = (Base‘(𝑀s+))
11443, 44sstri 3573 . . . . . . 7 + ⊆ ℂ
115 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (𝑀s+)
1161, 47mgpbas 18261 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘𝑀)
117115, 116ressbas2 15701 . . . . . . 7 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
118114, 117ax-mp 5 . . . . . 6 + = (Base‘(𝑀s+))
119 reex 9880 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
120119, 43ssexi 4723 . . . . . . 7 + ∈ V
121 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (𝑀s+)
122 cnfldmul 19516 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
1231, 122mgpplusg 18259 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
124121, 123ressplusg 15761 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀s+)))
125120, 124ax-mp 5 . . . . . 6 · = (+g‘(𝑀s+))
126119, 43ssexi 4723 . . . . . . 7 + ∈ V
127 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (𝑀s+)
1281, 122mgpplusg 18259 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
129127, 128ressplusg 15761 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀s+)))
130126, 129ax-mp 5 . . . . . 6 · = (+g‘(𝑀s+))
131 eqid 2606 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
132131rpmsubg 19572 . . . . . . 7 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
1331oveq1i 6534 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
134 cnex 9870 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
135 difss 3695 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
136134, 135ssexi 4723 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
137 rpcndif0 11680 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
138137ssriv 3568 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
139 ressabs 15709 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
140136, 138, 139mp2an 703 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
141133, 140eqtr4i 2631 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
142141subggrp 17363 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀s+) ∈ Grp)
143132, 142mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Grp)
144 eqid 2606 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
145144rpmsubg 19572 . . . . . . 7 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
1461oveq1i 6534 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
147 difss 3695 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
148134, 147ssexi 4723 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
149 rpcndif0 11680 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
150149ssriv 3568 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
151 ressabs 15709 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
152148, 150, 151mp2an 703 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
153146, 152eqtr4i 2631 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
154153subggrp 17363 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀s+) ∈ Grp)
155145, 154mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Grp)
156 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
157 hashnncl 12967 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
1582, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
1593, 158mpbird 245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
160159nnrecred 10910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
161160adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
162156, 161rpcxpcld 24190 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ ℝ+)
163 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))
164162, 163fmptd 6274 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
165 simprl 789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
166165rprege0d 11708 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
167 simprr 791 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
168167rprege0d 11708 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
169 hashnncl 12967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
1702, 169syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
1713, 170mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
172171nnrecred 10910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
173172recnd 9921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
174173adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
175 mulcxp 24145 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
176166, 168, 174, 175syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
177 rpmulcl 11684 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
178177adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
179 oveq1 6531 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
180 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))
181 ovex 6552 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ V
182179, 180, 181fvmpt3i 6178 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
183178, 182syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
184 simprl 789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
185 oveq1 6531 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
186 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))
187 ovex 6552 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ V
188185, 186, 187fvmpt3i 6178 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
189184, 188syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
190 simprr 791 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
191 oveq1 6531 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
192 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))
193 ovex 6552 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ V
194191, 192, 193fvmpt3i 6178 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
195190, 194syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴))))
196189, 195oveq12d 6542 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
197176, 183, 1963eqtr4d 2650 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘𝑦)))
198113, 118, 125, 130, 143, 155, 164, 197isghmd 17435 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)))
199 ghmmhm 17436 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
200198, 199syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
201 1red 9908 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2024, 2, 201fdmfifsupp 8142 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 1)
20350, 72, 93, 108, 2, 200, 4, 202gsummhm 18104 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
2041oveq1i 6534 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
205204rpmsubg 19572 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
206 subgsubm 17382 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
207205, 206ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
20847, 58, 59drngui 18519 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
209208, 1unitsubm 18436 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
21057, 209ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
211 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
212211subsubm 17123 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
213210, 212ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
214207, 213mpbi 218 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
215214simpli 472 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
216215a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
2174ffvelrnda 6249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
218 hashnncl 12967 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2192, 218syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2203, 219mpbird 245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
221220nnrecred 10910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
222221adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
223217, 222rpcxpcld 24190 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ ℝ+)
224 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
225223, 224fmptd 6274 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
226 eqid 2606 . . . . 5 (𝑀s+) = (𝑀s+)
2272, 216, 225, 226gsumsubm 17139 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
2284ffvelrnda 6249 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
229 hashnncl 12967 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2302, 229syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2313, 230mpbird 245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
232231nnrpd 11699 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ+)
233232rpreccld 11711 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
234233adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
2354feqmptd 6141 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
236 fconstmpt 5072 . . . . . . 7 (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))
237236a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
2382, 228, 234, 235, 237offval2 6786 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
239238oveq2d 6540 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
2404ffvelrnda 6249 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2414feqmptd 6141 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
242 oveq1 6531 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
243242cbvmptv 4669 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))))
244243a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
245 oveq1 6531 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥𝑐(1 / (#‘𝐴))) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
246240, 241, 244, 245fmptco 6285 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴)))))
247246oveq2d 6540 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))))
248227, 239, 2473eqtr4rd 2651 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
24943, 44sstri 3573 . . . . . . 7 + ⊆ ℂ
250 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (𝑀s+)
2511, 47mgpbas 18261 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘𝑀)
252250, 251ressbas2 15701 . . . . . . 7 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
253249, 252ax-mp 5 . . . . . 6 + = (Base‘(𝑀s+))
2541, 51ringidval 18269 . . . . . . 7 1 = (0g𝑀)
2551oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
256255rpmsubg 19572 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
257 subgsubm 17382 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
258256, 257ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
25947, 58, 59drngui 18519 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
260259, 1unitsubm 18436 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
26157, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
262 eqid 2606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
263262subsubm 17123 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
264261, 263ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
265258, 264mpbi 218 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
266265simpli 472 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
267 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = (𝑀s+)
268 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (0g𝑀) = (0g𝑀)
269267, 268subm0 17122 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
270266, 269ax-mp 5 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
271254, 270eqtri 2628 . . . . . 6 1 = (0g‘(𝑀s+))
2721crngmgp 18321 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
27373, 272ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑀 ∈ CMnd
2741oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
275274rpmsubg 19572 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
276 subgsubm 17382 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
277275, 276ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
27847, 58, 59drngui 18519 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
279278, 1unitsubm 18436 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
28057, 279ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
281 eqid 2606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
282281subsubm 17123 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
283280, 282ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
284277, 283mpbi 218 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
285284simpli 472 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
286 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = (𝑀s+)
287286submmnd 17120 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
288285, 287mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
289 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (𝑀s+)
290289subcmn 18008 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
291273, 288, 290sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
292 1red 9908 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2934, 2, 292fdmfifsupp 8142 . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp 1)
294253, 271, 291, 2, 4, 293gsumcl 18082 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
295 oveq1 6531 . . . . . 6 (𝑘 = ((𝑀s+) Σg 𝐹) → (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
296 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))
297 ovex 6552 . . . . . 6 (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))) ∈ V
298295, 296, 297fvmpt3i 6178 . . . . 5 (((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
299294, 298syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
3001oveq1i 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
301300rpmsubg 19572 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
302 subgsubm 17382 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
303301, 302ax-mp 5 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
30447, 58, 59drngui 18519 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
305304, 1unitsubm 18436 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
30657, 305ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
307 eqid 2606 . . . . . . . . . . 11 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
308307subsubm 17123 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
309306, 308ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
310303, 309mpbi 218 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
311310simpli 472 . . . . . . 7 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
312311a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
313 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
3142, 312, 4, 313gsumsubm 17139 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
315314oveq1d 6539 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
316299, 315eqtr4d 2643 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (#‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
317203, 248, 3163eqtr3d 2648 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))))
3184ffvelrnda 6249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
319318rpcnd 11703 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3202, 319fsumcl 14254 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
321 hashnncl 12967 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3222, 321syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3233, 322mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
324323nncnd 10880 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
325 hashnncl 12967 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3262, 325syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3273, 326mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
328327nnne0d 10909 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ≠ 0)
329320, 324, 328divrecd 10650 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
330 hashnncl 12967 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3312, 330syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3323, 331mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
333332nnrecred 10910 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
334333recnd 9921 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
3354ffvelrnda 6249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
336335rpcnd 11703 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3372, 334, 336fsummulc1 14302 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
338329, 337eqtr2d 2641 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)))
3394ffvelrnda 6249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
340339rpcnd 11703 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
341 hashnncl 12967 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3422, 341syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3433, 342mpbird 245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
344343nnrecred 10910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
345344recnd 9921 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
346345adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
347340, 346mulcld 9913 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))) ∈ ℂ)
3482, 347gsumfsum 19575 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))
3494ffvelrnda 6249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
350349rpcnd 11703 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3512, 350gsumfsum 19575 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
352351oveq1d 6539 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (#‘𝐴)))
353338, 348, 3523eqtr4d 2650 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)))
3544ffvelrnda 6249 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
355 hashnncl 12967 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3562, 355syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3573, 356mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
358357nnrecred 10910 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
359358recnd 9921 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
360359adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
3614feqmptd 6141 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
362 fconstmpt 5072 . . . . . 6 (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))
363362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
3642, 354, 360, 361, 363offval2 6786 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴)))))
365364oveq2d 6540 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (#‘𝐴))))))
3664feqmptd 6141 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
367366oveq2d 6540 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
368367oveq1d 6539 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (#‘𝐴)))
369353, 365, 3683eqtr4d 2650 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
37042, 317, 3693brtr3d 4605 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  Vcvv 3169  cdif 3533  wss 3536  c0 3870  {csn 4121   class class class wbr 4574  cmpt 4634   × cxp 5023  ccom 5029  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑓 cof 6767  Fincfn 7815  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   · cmul 9794  cle 9928   / cdiv 10530  cn 10864  +crp 11661  #chash 12931  Σcsu 14207  Basecbs 15638  s cress 15639  +gcplusg 15711  0gc0g 15866   Σg cgsu 15867  Mndcmnd 17060   MndHom cmhm 17099  SubMndcsubmnd 17100  Grpcgrp 17188  SubGrpcsubg 17354   GrpHom cghm 17423  CMndccmn 17959  mulGrpcmgp 18255  Ringcrg 18313  CRingccrg 18314  fldccnfld 19510  𝑐ccxp 24020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-tpos 7213  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-sin 14582  df-cos 14583  df-pi 14585  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-mhm 17101  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-mulg 17307  df-subg 17357  df-ghm 17424  df-gim 17467  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-cring 18316  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-dvr 18449  df-drng 18515  df-subrg 18544  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-refld 19712  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-cmp 20939  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351  df-log 24021  df-cxp 24022
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator