Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr 487 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) |
2 | | wilthlem2.s |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴) |
3 | | eleq2 2901 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)) |
4 | | eleq2 2901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)) |
5 | 4 | raleqbi1dv 3403 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)) |
6 | 3, 5 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))) |
7 | | wilthlem.a |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)} |
8 | 6, 7 | elrab2 3674 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))) |
9 | 2, 8 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))) |
10 | 9 | simprd 498 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)) |
11 | 10 | simpld 497 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆) |
12 | 11 | snssd 4728 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆) |
13 | 12 | adantr 483 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆) |
14 | 1, 13 | eqssd 3972 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 = {(𝑃 − 1)}) |
15 | 14 | reseq2d 5839 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)})) |
16 | | mptresid 5904 |
. . . . . . 7
⊢ ( I
↾ {(𝑃 − 1)}) =
(𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧) |
17 | 15, 16 | syl6eq 2872 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) |
18 | 17 | oveq2d 7158 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → (𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧))) |
19 | 18 | oveq1d 7157 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃)) |
20 | | wilthlem2.p |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ) |
21 | | prmnn 16001 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ) |
23 | 22 | nncnd 11640 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ) |
24 | | ax-1cn 10581 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
ℂ |
25 | | negsub 10920 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝑃 + -1) =
(𝑃 −
1)) |
26 | 23, 24, 25 | sylancl 588 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1)) |
27 | | neg1cn 11738 |
. . . . . . . . . 10
⊢ -1 ∈
ℂ |
28 | | addcom 10812 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ -1 ∈
ℂ) → (𝑃 + -1) =
(-1 + 𝑃)) |
29 | 23, 27, 28 | sylancl 588 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃)) |
30 | 26, 29 | eqtr3d 2858 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (-1 + 𝑃)) |
31 | | cnring 20550 |
. . . . . . . . . 10
⊢
ℂfld ∈ Ring |
32 | | wilthlem.t |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑇 =
(mulGrp‘ℂfld) |
33 | 32 | ringmgp 19286 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(ℂfld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd) |
34 | 31, 33 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd) |
35 | | nnm1nn0 11925 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈
ℕ0) |
36 | 22, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈
ℕ0) |
37 | 36 | nn0cnd 11944 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ) |
38 | | cnfldbas 20532 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℂ =
(Base‘ℂfld) |
39 | 32, 38 | mgpbas 19228 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℂ =
(Base‘𝑇) |
40 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = (𝑃 − 1) → 𝑧 = (𝑃 − 1)) |
41 | 39, 40 | gsumsn 19057 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧
(𝑃 − 1) ∈
ℂ) → (𝑇
Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1)) |
42 | 34, 37, 37, 41 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1)) |
43 | 23 | mulid2d 10645 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃) |
44 | 43 | oveq2d 7158 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (-1 + (1 · 𝑃)) = (-1 + 𝑃)) |
45 | 30, 42, 44 | 3eqtr4d 2866 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (-1 + (1 · 𝑃))) |
46 | 45 | oveq1d 7157 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃)) |
47 | | neg1rr 11739 |
. . . . . . . 8
⊢ -1 ∈
ℝ |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℝ) |
49 | 22 | nnrpd 12416 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈
ℝ+) |
50 | | 1zzd 12000 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℤ) |
51 | | modcyc 13264 |
. . . . . . 7
⊢ ((-1
∈ ℝ ∧ 𝑃
∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 ·
𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |
52 | 48, 49, 50, 51 | syl3anc 1367 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |
53 | 46, 52 | eqtrd 2856 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |
54 | 53 | adantr 483 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |
55 | 19, 54 | eqtrd 2856 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |
56 | 55 | ex 415 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) |
57 | | nss 4017 |
. . 3
⊢ (¬
𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) |
58 | | cnfld1 20553 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 =
(1r‘ℂfld) |
59 | 32, 58 | ringidval 19236 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 =
(0g‘𝑇) |
60 | | cnfldmul 20534 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ·
= (.r‘ℂfld) |
61 | 32, 60 | mgpplusg 19226 |
. . . . . . . . 9
⊢ ·
= (+g‘𝑇) |
62 | | cncrng 20549 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
ℂfld ∈ CRing |
63 | 32 | crngmgp 19288 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(ℂfld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd) |
64 | 62, 63 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑇 ∈ CMnd |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ CMnd) |
66 | 2 | adantr 483 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ∈ 𝐴) |
67 | | f1oi 6638 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ( I
↾ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆 |
68 | | f1of 6601 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (( I
↾ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆) |
69 | 67, 68 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( I
↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 |
70 | 9 | simpld 497 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1))) |
71 | 70 | elpwid 4536 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1))) |
72 | | fzssz 12899 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(1...(𝑃 − 1))
⊆ ℤ |
73 | 71, 72 | sstrdi 3967 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℤ) |
74 | | zsscn 11976 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ℤ
⊆ ℂ |
75 | 73, 74 | sstrdi 3967 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ) |
76 | | fss 6513 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((( I
↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ) |
77 | 69, 75, 76 | sylancr 589 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ) |
78 | 77 | adantr 483 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ) |
79 | | fzfi 13330 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...(𝑃 − 1))
∈ Fin |
80 | | ssfi 8724 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((1...(𝑃 −
1)) ∈ Fin ∧ 𝑆
⊆ (1...(𝑃 −
1))) → 𝑆 ∈
Fin) |
81 | 79, 71, 80 | sylancr 589 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin) |
82 | | 1ex 10623 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 ∈
V |
83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 1 ∈
V) |
84 | 77, 81, 83 | fdmfifsupp 8829 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1) |
85 | 84 | adantr 483 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1) |
86 | | disjdif 4407 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅ |
87 | 86 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅) |
88 | | undif2 4411 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) |
89 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ 𝑆) |
90 | | oveq1 7149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2))) |
91 | 90 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
92 | 91 | eleq1d 2897 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)) |
93 | 10 | simprd 498 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) |
94 | 93 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) |
95 | 92, 94, 89 | rspcdva 3617 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) |
96 | 89, 95 | prssd 4741 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆) |
97 | | ssequn1 4144 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆) |
98 | 96, 97 | sylib 220 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆) |
99 | 88, 98 | syl5req 2869 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
100 | 39, 59, 61, 65, 66, 78, 85, 87, 99 | gsumsplit 19031 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) = ((𝑇 Σg (( I ↾
𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾
𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))) |
101 | 96 | resabs1d 5870 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
102 | 101 | oveq2d 7158 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾
𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
103 | | difss 4096 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆 |
104 | | resabs1 5869 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
105 | 103, 104 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (( I
↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
106 | 105 | oveq2i 7153 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑇 Σg (( I
↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
107 | 106 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾
𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) |
108 | 102, 107 | oveq12d 7160 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg (( I ↾
𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾
𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = ((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))) |
109 | 100, 108 | eqtrd 2856 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) = ((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))) |
110 | 109 | oveq1d 7157 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = (((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃)) |
111 | | prfi 8779 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin |
112 | 111 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin) |
113 | | zsubrg 20581 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℤ
∈ (SubRing‘ℂfld) |
114 | 32 | subrgsubm 19531 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℤ
∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈
(SubMnd‘𝑇)) |
115 | 113, 114 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ℤ ∈
(SubMnd‘𝑇)) |
116 | | f1oi 6638 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} |
117 | | f1of 6601 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
118 | 116, 117 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} |
119 | 73 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℤ) |
120 | 96, 119 | sstrd 3965 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ) |
121 | | fss 6513 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∧ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ) → ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ) |
122 | 118, 120,
121 | sylancr 589 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ) |
123 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈
V) |
124 | 122, 112,
123 | fdmfifsupp 8829 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) finSupp 1) |
125 | 59, 65, 112, 115, 122, 124 | gsumsubmcl 19022 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℤ) |
126 | 125 | zred 12074 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ) |
127 | | 1red 10628 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈
ℝ) |
128 | 71 | adantr 483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1))) |
129 | 128 | ssdifssd 4107 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) |
130 | | ssfi 8724 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((1...(𝑃 −
1)) ∈ Fin ∧ (𝑆
∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin) |
131 | 79, 129, 130 | sylancr 589 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin) |
132 | | f1oi 6638 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ( I
↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
133 | | f1of 6601 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (( I
↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
134 | 132, 133 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢ ( I
↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
135 | 119 | ssdifssd 4107 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ) |
136 | | fss 6513 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((( I
↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ) → ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ) |
137 | 134, 135,
136 | sylancr 589 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ) |
138 | 137, 131,
123 | fdmfifsupp 8829 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) finSupp 1) |
139 | 59, 65, 131, 115, 137, 138 | gsumsubmcl 19022 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ) |
140 | 49 | adantr 483 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈
ℝ+) |
141 | 34 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ Mnd) |
142 | 75 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℂ) |
143 | 142, 89 | sseldd 3956 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℂ) |
144 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧) |
145 | 39, 144 | gsumsn 19057 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑇 Σg
(𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧) |
146 | 141, 143,
143, 145 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧) |
147 | 146 | adantr 483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧) |
148 | | mptresid 5904 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ( I
↾ {𝑧}) = (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) |
149 | | dfsn2 4566 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ {𝑧} = {𝑧, 𝑧} |
150 | | animorrl 977 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) |
151 | 20 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℙ) |
152 | 128, 89 | sseldd 3956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
153 | | wilthlem1 25631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))) |
154 | 151, 152,
153 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))) |
155 | 154 | biimpar 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
156 | 150, 155 | syldan 593 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
157 | 156 | preq2d 4662 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧, 𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
158 | 149, 157 | syl5eq 2868 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
159 | 158 | reseq2d 5839 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ( I ↾ {𝑧}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
160 | 148, 159 | syl5eqr 2870 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
161 | 160 | oveq2d 7158 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = (𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
162 | | simpr 487 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = 1) |
163 | 147, 161,
162 | 3eqtr3d 2864 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = 1) |
164 | 163 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) |
165 | | df-pr 4556 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} = ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
166 | 165 | reseq2i 5836 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
167 | | mptresid 5904 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ( I
↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤) |
168 | 166, 167 | eqtri 2844 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤) |
169 | 168 | oveq2i 7153 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑇 Σg ( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)) |
170 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → 𝑇 ∈ CMnd) |
171 | | snfi 8580 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ {𝑧} ∈ Fin |
172 | 171 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → {𝑧} ∈ Fin) |
173 | | elsni 4570 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧} → 𝑤 = 𝑧) |
174 | 173 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 = 𝑧) |
175 | 143 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑧 ∈ ℂ) |
176 | 174, 175 | eqeltrd 2913 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ) |
177 | 176 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ) |
178 | 142, 95 | sseldd 3956 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ) |
179 | 178 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ) |
180 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) |
181 | | velsn 4569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ 𝑧 = (𝑃 − 1)) |
182 | 180, 181 | sylnib 330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 = (𝑃 − 1)) |
183 | | biorf 933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬
𝑧 = (𝑃 − 1) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1))) |
184 | 182, 183 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1))) |
185 | | ovex 7175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V |
186 | 185 | elsn 4568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧) |
187 | | eqcom 2828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
188 | 186, 187 | bitri 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
189 | | orcom 866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) |
190 | 154, 188,
189 | 3bitr4g 316 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1))) |
191 | 184, 190 | bitr4d 284 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧})) |
192 | 191 | necon3abid 3052 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧})) |
193 | 192 | biimpa 479 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}) |
194 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
195 | 39, 61, 170, 172, 177, 179, 193, 179, 194 | gsumunsn 19063 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
196 | 169, 195 | syl5eq 2868 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
197 | 146 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧) |
198 | 197 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
199 | 196, 198 | eqtrd 2856 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
200 | 199 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃)) |
201 | | elfzelz 12898 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℤ) |
202 | 152, 201 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℤ) |
203 | 22 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℕ) |
204 | | fzm1ndvds 15657 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑧) |
205 | 203, 152,
204 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑧) |
206 | | eqid 2821 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) |
207 | 206 | prmdiv 16105 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑃 ∥ 𝑧) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))) |
208 | 151, 202,
205, 207 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))) |
209 | 208 | simprd 498 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)) |
210 | | elfznn 12926 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ) |
211 | 152, 210 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℕ) |
212 | 128, 95 | sseldd 3956 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
213 | | elfznn 12926 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ) |
214 | 212, 213 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ) |
215 | 211, 214 | nnmulcld 11677 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℕ) |
216 | 215 | nnzd 12073 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ) |
217 | | 1zzd 12000 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈
ℤ) |
218 | | moddvds 15603 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
→ (((𝑧 ·
((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))) |
219 | 203, 216,
217, 218 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))) |
220 | 209, 219 | mpbird 259 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) |
221 | 220 | adantr 483 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) |
222 | 200, 221 | eqtrd 2856 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) |
223 | 164, 222 | pm2.61dane 3104 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) |
224 | | modmul1 13282 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑇 Σg ( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
∧ ((𝑇
Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑇 Σg ( I
↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃)) |
225 | 126, 127,
139, 140, 223, 224 | syl221anc 1377 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑇 Σg ( I ↾
{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃)) |
226 | 139 | zcnd 12075 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℂ) |
227 | 226 | mulid2d 10645 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑇 Σg ( I
↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) |
228 | 227 | oveq1d 7157 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I
↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃)) |
229 | | sseqin2 4180 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
230 | 96, 229 | sylib 220 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
231 | | vex 3489 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑧 ∈ V |
232 | 231 | prnz 4698 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅ |
233 | 232 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅) |
234 | 230, 233 | eqnetrd 3083 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅) |
235 | | disj4 4394 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆) |
236 | 235 | necon2abii 3066 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅) |
237 | 234, 236 | sylibr 236 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆) |
238 | | psseq1 4052 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑠 ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)) |
239 | | reseq2 5834 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
240 | 239 | oveq2d 7158 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑇 Σg ( I ↾
𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) |
241 | 240 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃)) |
242 | 241 | eqeq1d 2823 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑇 Σg ( I ↾
𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) |
243 | 238, 242 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) |
244 | | wilthlem2.r |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) |
245 | 244 | adantr 483 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) |
246 | | ovex 7175 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...(𝑃 − 1))
∈ V |
247 | 246 | elpw2 5234 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) |
248 | 129, 247 | sylibr 236 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1))) |
249 | 11 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆) |
250 | | eqcom 2828 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧) |
251 | 181, 250 | bitri 277 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧) |
252 | 180, 251 | sylnib 330 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = 𝑧) |
253 | | oveq1 7149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2))) |
254 | 253 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
255 | 203, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈
ℕ0) |
256 | | nn0uz 12267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
257 | 255, 256 | eleqtrdi 2923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
258 | | eluzfz2 12905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑃 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
259 | 257, 258 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
260 | | prmz 16002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℤ) |
261 | 151, 260 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℤ) |
262 | 119, 249 | sseldd 3956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ) |
263 | | 1z 11999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 1 ∈
ℤ |
264 | | zsubcl 12011 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧
1 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈
ℤ) |
265 | 262, 263,
264 | sylancl 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈
ℤ) |
266 | | dvdsmul1 15616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − 1) ∈
ℤ) → 𝑃 ∥
(𝑃 · ((𝑃 − 1) −
1))) |
267 | 261, 265,
266 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1))) |
268 | 203 | nncnd 11640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℂ) |
269 | 265 | zcnd 12075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈
ℂ) |
270 | 268, 269 | mulcld 10647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈
ℂ) |
271 | | 1cnd 10622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈
ℂ) |
272 | 255 | nn0cnd 11944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ) |
273 | 268, 271,
272 | subdird 11083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1)))) |
274 | 268, 272 | mulcld 10647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · (𝑃 − 1)) ∈
ℂ) |
275 | 274, 268,
271 | subsubd 11011 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1)) |
276 | 272 | mulid2d 10645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1)) |
277 | 276 | oveq2d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1))) |
278 | 268, 272 | muls1d 11086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃)) |
279 | 278 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1)) |
280 | 275, 277,
279 | 3eqtr4d 2866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) +
1)) |
281 | 273, 280 | eqtrd 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) +
1)) |
282 | 270, 271,
281 | mvrraddd 11038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1))) |
283 | 267, 282 | breqtrrd 5080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) |
284 | 128, 249 | sseldd 3956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
285 | | fzm1ndvds 15657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) |
286 | 203, 284,
285 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) |
287 | | eqid 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) |
288 | 287 | prmdiveq 16106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧
¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
289 | 151, 262,
286, 288 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
290 | 259, 283,
289 | mpbi2and 710 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
291 | 206 | prmdivdiv 16107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
292 | 151, 152,
291 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
293 | 290, 292 | eqeq12d 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = 𝑧 ↔ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
294 | 254, 293 | syl5ibr 248 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑃 − 1) = 𝑧)) |
295 | 252, 294 | mtod 200 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
296 | | ioran 980 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (¬ (𝑃 − 1) = 𝑧 ∧ ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
297 | 252, 295,
296 | sylanbrc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
298 | | ovex 7175 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑃 − 1) ∈
V |
299 | 298 | elpr 4576 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
300 | 297, 299 | sylnibr 331 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
301 | 249, 300 | eldifd 3935 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
302 | | eldifi 4091 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → 𝑦 ∈ 𝑆) |
303 | 94 | r19.21bi 3208 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) |
304 | 302, 303 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) |
305 | | eldif 3934 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
306 | 151 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ ℙ) |
307 | 128 | sselda 3955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
308 | | eqid 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) |
309 | 308 | prmdivdiv 16107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
310 | 306, 307,
309 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
311 | | oveq1 7149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2))) |
312 | 311 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
313 | 312 | eqeq2d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
314 | 310, 313 | syl5ibcom 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
315 | | oveq1 7149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2))) |
316 | 315 | oveq1d 7157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
317 | 292 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) |
318 | 310, 317 | eqeq12d 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
319 | 316, 318 | syl5ibr 248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑧)) |
320 | 314, 319 | orim12d 961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) → (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))) |
321 | | ovex 7175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V |
322 | 321 | elpr 4576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
323 | | vex 3489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝑦 ∈ V |
324 | 323 | elpr 4576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))) |
325 | | orcom 866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧)) |
326 | 324, 325 | bitri 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧)) |
327 | 320, 322,
326 | 3imtr4g 298 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
328 | 327 | con3d 155 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
329 | 328 | impr 457 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
330 | 305, 329 | sylan2b 595 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) |
331 | 304, 330 | eldifd 3935 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
332 | 331 | ralrimiva 3182 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) |
333 | 301, 332 | jca 514 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
334 | | eleq2 2901 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
335 | | eleq2 2901 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
336 | 335 | raleqbi1dv 3403 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) |
337 | 334, 336 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) |
338 | 337, 7 | elrab2 3674 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) |
339 | 248, 333,
338 | sylanbrc 585 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴) |
340 | 243, 245,
339 | rspcdva 3617 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) |
341 | 237, 340 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾
(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |
342 | 228, 341 | eqtrd 2856 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I
↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |
343 | 110, 225,
342 | 3eqtrd 2860 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |
344 | 343 | ex 415 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) |
345 | 344 | exlimdv 1934 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) |
346 | 57, 345 | syl5bi 244 |
. 2
⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) |
347 | 56, 346 | pm2.61d 181 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾
𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) |