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Theorem wilthlem2 24708
Description: Lemma for wilth 24710: induction step. The "hand proof" version of this theorem works by writing out the list of all numbers from 1 to 𝑃 − 1 in pairs such that a number is paired with its inverse. Every number has a unique inverse different from itself except 1 and 𝑃 − 1, and so each pair multiplies to 1, and 1 and 𝑃 − 1≡-1 multiply to -1, so the full product is equal to -1. Here we make this precise by doing the product pair by pair.

The induction hypothesis says that every subset 𝑆 of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse (i.e. all pairs are matched up) and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃. Given such a set, we take out one element 𝑧𝑃 − 1. If there are no such elements, then 𝑆 = {𝑃 − 1} which forms the base case. Otherwise, 𝑆 ∖ {𝑧, 𝑧↑-1} is also closed under inverse and contains 𝑃 − 1, so the induction hypothesis says that this equals -1; and the remaining two elements are either equal to each other, in which case wilthlem1 24707 gives that 𝑧 = 1 or 𝑃 − 1, and we've already excluded the second case, so the product gives 1; or 𝑧𝑧↑-1 and their product is 1. In either case the accumulated product is unaffected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
wilthlem.t 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
wilthlem.a 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
wilthlem2.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
wilthlem2.s (𝜑𝑆𝐴)
wilthlem2.r (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
wilthlem2 (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐴   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑠,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem wilthlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)})
2 wilthlem2.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆𝐴)
3 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ 𝑆))
4 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑆 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
54raleqbi1dv 3138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑆 → (∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
63, 5anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑆 → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
7 wilthlem.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
86, 7elrab2 3352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝐴 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
92, 8sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
109simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
1110simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
1211snssd 4314 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
141, 13eqssd 3604 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 = {(𝑃 − 1)})
1514reseq2d 5361 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)}))
16 mptresid 5420 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)})
1715, 16syl6eqr 2673 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧))
1817oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)))
1918oveq1d 6625 . . . 4 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃))
20 wilthlem2.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
21 prmnn 15319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2322nncnd 10987 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
24 ax-1cn 9945 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
25 negsub 10280 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
2623, 24, 25sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
27 neg1cn 11075 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
28 addcom 10173 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
2923, 27, 28sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
3026, 29eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (-1 + 𝑃))
31 cnring 19696 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
32 wilthlem.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
3332ringmgp 18481 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
35 nnm1nn0 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
3622, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 11304 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
38 cnfldbas 19678 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
3932, 38mgpbas 18423 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘𝑇)
40 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 − 1) → 𝑧 = (𝑃 − 1))
4139, 40gsumsn 18282 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ) → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
4234, 37, 37, 41syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
4323mulid2d 10009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4443oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 + (1 · 𝑃)) = (-1 + 𝑃))
4530, 42, 443eqtr4d 2665 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (-1 + (1 · 𝑃)))
4645oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃))
47 neg1rr 11076 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
4922nnrpd 11821 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
50 1zzd 11359 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
51 modcyc 12652 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5346, 52eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5453adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5519, 54eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5655ex 450 . 2 (𝜑 → (𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
57 nss 3647 . . 3 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} ↔ ∃𝑧(𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}))
58 cnfld1 19699 . . . . . . . . . 10 1 = (1r‘ℂfld)
5932, 58ringidval 18431 . . . . . . . . 9 1 = (0g𝑇)
60 cnfldmul 19680 . . . . . . . . . 10 · = (.r‘ℂfld)
6132, 60mgpplusg 18421 . . . . . . . . 9 · = (+g𝑇)
62 cncrng 19695 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CRing
6332crngmgp 18483 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ CMnd
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ CMnd)
662adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆𝐴)
67 f1oi 6136 . . . . . . . . . . . 12 ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆
68 f1of 6099 . . . . . . . . . . . 12 (( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆 → ( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆
709simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
7170elpwid 4146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
72 elfzelz 12291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
7372ssriv 3591 . . . . . . . . . . . . 13 (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
7471, 73syl6ss 3599 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⊆ ℤ)
75 zsscn 11336 . . . . . . . . . . . 12 ℤ ⊆ ℂ
7674, 75syl6ss 3599 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
77 fss 6018 . . . . . . . . . . 11 ((( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
7869, 76, 77sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
7978adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
80 fzfi 12718 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
81 ssfi 8131 . . . . . . . . . . . 12 (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑆 ∈ Fin)
8280, 71, 81sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
83 1ex 9986 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ V)
8578, 82, 84fdmfifsupp 8236 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
8685adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
87 disjdif 4017 . . . . . . . . . 10 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅)
89 undif2 4021 . . . . . . . . . 10 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆)
90 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧𝑆)
9110simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
93 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
9493oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
9594eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
9695rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑆 → (∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
9790, 92, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
98 prssi 4326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆 ∧ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
9990, 97, 98syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
100 ssequn1 3766 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
10199, 100sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
10289, 101syl5req 2668 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
10339, 59, 61, 65, 66, 79, 86, 88, 102gsumsplit 18256 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
10499resabs1d 5392 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
105104oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
106 difss 3720 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆
107 resabs1 5391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
109108oveq2i 6621 . . . . . . . . . 10 (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
110109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
111105, 110oveq12d 6628 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
112103, 111eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
113112oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
114 prfi 8186 . . . . . . . . . 10 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin)
116 zsubrg 19727 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
11732subrgsubm 18721 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
118116, 117mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
119 f1oi 6136 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
120 f1of 6099 . . . . . . . . . . 11 (( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
121119, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
12274adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℤ)
12399, 122sstrd 3597 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
124 fss 6018 . . . . . . . . . 10 ((( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∧ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
125121, 123, 124sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
12683a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ V)
127125, 115, 126fdmfifsupp 8236 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) finSupp 1)
12859, 65, 115, 118, 125, 127gsumsubmcl 18247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℤ)
129128zred 11433 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ)
130 1red 10006 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℝ)
13171adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
132131ssdifssd 3731 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
133 ssfi 8131 . . . . . . . . 9 (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
13480, 132, 133sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
135 f1oi 6136 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
136 f1of 6099 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
137135, 136ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
138122ssdifssd 3731 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ)
139 fss 6018 . . . . . . . . 9 ((( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
140137, 138, 139sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
141140, 134, 126fdmfifsupp 8236 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) finSupp 1)
14259, 65, 134, 118, 140, 141gsumsubmcl 18247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ)
14349adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℝ+)
14434adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ Mnd)
14576adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
146145, 90sseldd 3588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℂ)
147 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑧𝑤 = 𝑧)
14839, 147gsumsn 18282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
149144, 146, 146, 148syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
150149adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
151 mptresid 5420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧})
152 dfsn2 4166 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧} = {𝑧, 𝑧}
153 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = 1)
154153orcd 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
15520adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℙ)
156131, 90sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
157 wilthlem1 24707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
158155, 156, 157syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
159158biimpar 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
160154, 159syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
161160preq2d 4250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧, 𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
162152, 161syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
163162reseq2d 5361 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ( I ↾ {𝑧}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
164151, 163syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
165164oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
166150, 165, 1533eqtr3d 2663 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = 1)
167166oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
168 df-pr 4156 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} = ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
169168reseq2i 5358 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
170 mptresid 5420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
171169, 170eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . 13 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)
172171oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤))
17364a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → 𝑇 ∈ CMnd)
174 snfi 7989 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧} ∈ Fin
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → {𝑧} ∈ Fin)
176 elsni 4170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {𝑧} → 𝑤 = 𝑧)
177176adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 = 𝑧)
178146adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑧 ∈ ℂ)
179177, 178eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
180179adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
181145, 97sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
183 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})
184 velsn 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ 𝑧 = (𝑃 − 1))
185183, 184sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 = (𝑃 − 1))
186 biorf 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 = (𝑃 − 1) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
188 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
189188elsn 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧)
190 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
191189, 190bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
192 orcom 402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
193158, 191, 1923bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
194187, 193bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
195194necon3abid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
196195biimpa 501 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧})
197 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
19839, 61, 173, 175, 180, 182, 196, 182, 197gsumunsn 18287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
199172, 198syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
200149adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
201200oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
202199, 201eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
203202oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
204156, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℤ)
20522adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℕ)
206 fzm1ndvds 14975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑧)
207205, 156, 206syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃𝑧)
208 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
209208prmdiv 15421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑧) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
210155, 204, 207, 209syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
211210simprd 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))
212 elfznn 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
213156, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℕ)
214131, 97sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
215 elfznn 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
217213, 216nnmulcld 11019 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℕ)
218217nnzd 11432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ)
219 1zzd 11359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℤ)
220 moddvds 14922 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
221205, 218, 219, 220syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
222211, 221mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
223222adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
224203, 223eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
225167, 224pm2.61dane 2877 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
226 modmul1 12670 . . . . . . 7 ((((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
227129, 130, 142, 143, 225, 226syl221anc 1334 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
228142zcnd 11434 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℂ)
229228mulid2d 10009 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
230229oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
231 ovex 6638 . . . . . . . . . . 11 (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
232231elpw2 4793 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
233132, 232sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
23411adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
235 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
236184, 235bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
237183, 236sylnib 318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = 𝑧)
238 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
239238oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
240205, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
241 nn0uz 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
242240, 241syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
243 eluzfz2 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
244242, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
245 prmz 15320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
246155, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℤ)
247122, 234sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
248 1z 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℤ
249 zsubcl 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
250247, 248, 249sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
251 dvdsmul1 14934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
252246, 250, 251syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
253205nncnd 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℂ)
25424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℂ)
255240nn0cnd 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
256253, 254, 255subdird 10438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))))
257253, 255mulcld 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · (𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
258257, 253, 254subsubd 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
259255mulid2d 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
260259oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)))
261253, 255, 254subdid 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)))
262253mulid1d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · 1) = 𝑃)
263262oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
264261, 263eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
265264oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
266258, 260, 2653eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
267256, 266eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
268267oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1))
269250zcnd 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℂ)
270253, 269mulcld 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ)
271 pncan 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
272270, 24, 271sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
273268, 272eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
274252, 273breqtrrd 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1))
275131, 234sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
276 fzm1ndvds 14975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
277205, 275, 276syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
278 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
279278prmdiveq 15422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
280155, 247, 277, 279syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
281244, 274, 280mpbi2and 955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
282208prmdivdiv 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
283155, 156, 282syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
284281, 283eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = 𝑧 ↔ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
285239, 284syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑃 − 1) = 𝑧))
286237, 285mtod 189 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
287 ioran 511 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (¬ (𝑃 − 1) = 𝑧 ∧ ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
288237, 286, 287sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
289 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 − 1) ∈ V
290289elpr 4174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
291288, 290sylnibr 319 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
292234, 291eldifd 3570 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
293 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → 𝑦𝑆)
29492r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
295293, 294sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
296 eldif 3569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↔ (𝑦𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
297155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑃 ∈ ℙ)
298131sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
299 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
300299prmdivdiv 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
301297, 298, 300syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
302 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
303302oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
304303eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
305301, 304syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
306 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
307306oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
308283adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
309301, 308eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
310307, 309syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑧))
311305, 310orim12d 882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) → (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧)))
312 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
313312elpr 4174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
314 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
315314elpr 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
316 orcom 402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
317315, 316bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
318311, 313, 3173imtr4g 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
319318con3d 148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
320319impr 648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑦𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
321296, 320sylan2b 492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
322295, 321eldifd 3570 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
323322ralrimiva 2961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
324292, 323jca 554 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
325 eleq2 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
326 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
327326raleqbi1dv 3138 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
328325, 327anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
329328, 7elrab2 3352 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
330233, 324, 329sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴)
331 wilthlem2.r . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
332331adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
333 sseqin2 3800 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
33499, 333sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
335 vex 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
336335prnz 4285 . . . . . . . . . . 11 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅
337336a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅)
338334, 337eqnetrd 2857 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
339 disj4 4002 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
340339necon2abii 2840 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
341338, 340sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
342 psseq1 3677 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑠𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆))
343 reseq2 5356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
344343oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
345344oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
346345eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
347342, 346imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
348347rspcv 3294 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 → (∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
349330, 332, 341, 348syl3c 66 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
350230, 349eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
351113, 227, 3503eqtrd 2659 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
352351ex 450 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
353352exlimdv 1858 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35457, 353syl5bi 232 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35556, 354pm2.61d 170 1 (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  wss 3559  wpss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678   I cid 4989  cres 5081  wf 5848  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906   finSupp cfsupp 8226  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217  -cneg 10218  cn 10971  2c2 11021  0cn0 11243  cz 11328  cuz 11638  +crp 11783  ...cfz 12275   mod cmo 12615  cexp 12807  cdvds 14914  cprime 15316   Σg cgsu 16029  Mndcmnd 17222  SubMndcsubmnd 17262  CMndccmn 18121  mulGrpcmgp 18417  Ringcrg 18475  CRingccrg 18476  SubRingcsubrg 18704  fldccnfld 19674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-gcd 15148  df-prm 15317  df-phi 15402  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-subrg 18706  df-cnfld 19675
This theorem is referenced by:  wilthlem3  24709
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