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Theorem plyco0 23865
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 795 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
2 ffun 6010 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → Fun 𝐴)
32adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → Fun 𝐴)
4 peano2nn0 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6 eluznn0 11708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
98ssrdv 3593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
10 fdm 6013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → dom 𝐴 = ℕ0)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → dom 𝐴 = ℕ0)
129, 11sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
13 funfvima2 6453 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
143, 12, 13syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
1514ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
16 nn0z 11351 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817peano2zd 11436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1918ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20 nn0z 11351 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
2120ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
22 eluz 11652 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
2319, 21, 22syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
24 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
2524eleq2d 2684 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴𝑘) ∈ {0}))
26 fvex 6163 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑘) ∈ V
2726elsn 4168 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) ∈ {0} ↔ (𝐴𝑘) = 0)
2825, 27syl6bb 276 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2915, 23, 283imtr3d 282 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 → (𝐴𝑘) = 0))
3029necon3ad 2803 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
311, 30mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
32 nn0re 11252 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
3332ad2antrl 763 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3418zred 11433 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3534ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3633, 35ltnled 10135 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
3731, 36mpbird 247 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 < (𝑁 + 1))
3817ad2antrr 761 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 zleltp1 11379 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
4021, 38, 39syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
4137, 40mpbird 247 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘𝑁)
4241expr 642 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
4342ralrimiva 2961 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
44 simpr 477 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
45 eluznn0 11708 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
465, 44, 45syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
47 nn0re 11252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
5034adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5146nn0red 11303 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
5249ltp1d 10905 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
53 eluzle 11651 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑛)
5453ad2antll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑛)
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 10148 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 < 𝑛)
5649, 51ltnled 10135 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 < 𝑛 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
5755, 56mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑛𝑁)
58 simprl 793 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
59 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑛))
6059neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑛) ≠ 0))
61 breq1 4621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝑁𝑛𝑁))
6260, 61imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ((𝐴𝑛) ≠ 0 → 𝑛𝑁)))
6362rspcva 3296 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴𝑛) ≠ 0 → 𝑛𝑁))
6446, 58, 63syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ((𝐴𝑛) ≠ 0 → 𝑛𝑁))
6564necon1bd 2808 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 𝑛𝑁 → (𝐴𝑛) = 0))
6657, 65mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝐴𝑛) = 0)
67 ffn 6007 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
6867ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝐴 Fn ℕ0)
69 fniniseg 6299 . . . . . . . 8 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) = 0)))
7068, 69syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) = 0)))
7146, 66, 70mpbir2and 956 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}))
7271expr 642 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ (𝐴 “ {0})))
7372ssrdv 3593 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0}))
74 funimass3 6294 . . . . . 6 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
753, 12, 74syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
7675adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
7773, 76mpbird 247 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0})
7848ltp1d 10905 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
7948, 34ltnled 10135 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8078, 79mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
8180adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
82 fveq2 6153 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
8382neeq1d 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0))
84 breq1 4621 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8583, 84imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
8685rspcva 3296 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
875, 86sylan 488 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8887necon1bd 2808 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁 → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = 0))
8981, 88mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = 0)
90 uzid 11653 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9118, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
92 funfvima2 6453 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
933, 12, 92syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9491, 93mpd 15 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9594adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9689, 95eqeltrrd 2699 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → 0 ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9796snssd 4314 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → {0} ⊆ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9877, 97eqssd 3604 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
9943, 98impbida 876 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  ccnv 5078  dom cdm 5079  cima 5082  Fun wfun 5846   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   < clt 10025  cle 10026  0cn0 11243  cz 11328  cuz 11638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639
This theorem is referenced by:  elply2  23869  plyeq0lem  23883  coeeulem  23897  dgrlem  23902  dgrub2  23908  dgrlb  23909  coeeq2  23915  dgrle  23916  coeaddlem  23922  coemullem  23923  coe1termlem  23931  dgreq0  23938  coecj  23951  basellem2  24721
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