Theorem cycpmconjslem1 30796

Description: Lemma for cycpmconjs 30798 (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjslem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cycpmconjslem1	⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Proof of Theorem cycpmconjslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6103	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) = (◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊))
2	1	coeq1i 5730	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊)
3		ssid 3989	. . . . 5 ⊢ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊
4		cores 6102	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊 → (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊)
6		coass 6118	. . . 4 ⊢ ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
7	2, 5, 6	3eqtr3i 2852	. . 3 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
8		cycpmconjs.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
9		cycpmconjslem1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		cycpmconjslem1.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
11		cycpmconjslem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
12	8, 9, 10, 11	tocycfvres1 30752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
13	12	coeq1d 5732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊))
14		f1f1orn 6626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
15		f1ococnv1 6643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
16	11, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
17	16	coeq2d 5733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)))
18		coires1 6117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊)
19	17, 18	syl6req 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)))
20		coass 6118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊))
21	19, 20	syl6reqr 2875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊))
22		1zzd 12014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
23		cshwfn 14163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	10, 22, 23	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25		wrddm 13869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	fneq2d 6447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
28	24, 27	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊)
29		fnresdm 6466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
31	13, 21, 30	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
32	31	coeq2d 5733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊)) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
33	7, 32	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
34		wrdfn 13877	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
35	10, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
36		df-f 6359	. . . . 5 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 ↔ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊))
37	35, 3, 36	sylanblrc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊)
38		iswrdi 13866	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
39	37, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
40		f1ocnv 6627	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
41	11, 14, 40	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
42		f1of 6615	. . . 4 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44		cshco 14198	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word ran 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊) → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
45	39, 22, 43, 44	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
46		cycpmconjslem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
47	46	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑃))
48	26, 47	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^𝑃))
49	48	reseq2d 5853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
50	16, 49	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
51	50	oveq1d 7171	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
52	33, 45, 51	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  {csn 4567   I cid 5459  ^◡ccnv 5554  dom cdm 5555  ran crn 5556   ↾ cres 5557   “ cima 5558   ∘ ccom 5559   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  –1-1→wf1 6352  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   cyclShift ccsh 14150  SymGrpcsymg 18495  toCycctocyc 30748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-csh 14151  df-tocyc 30749

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  30797