Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh0g 36902
Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh0g.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvh0g.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh0g.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.z 0 = (0g𝑈)
dvh0g.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvh0g ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dvh0g
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dvh0g.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dvh0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dvh0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4idltrn 35939 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6 eqid 2760 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 dvh0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
82, 3, 4, 6, 7tendo0cl 36580 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
9 dvh0g.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2760 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑈) = (+g𝑈)
12 eqid 2760 . . . . 5 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
133, 4, 6, 9, 10, 11, 12dvhopvadd 36884 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
141, 5, 8, 5, 8, 13syl122anc 1486 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
15 f1oi 6335 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
16 f1of 6298 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
17 fcoi2 6240 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . 5 (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
20 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
213, 4, 6, 9, 10, 20, 12dvhfplusr 36875 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
2221oveqd 6830 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂))
232, 3, 4, 6, 7, 20tendo0pl 36581 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
248, 23mpdan 705 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtrd 2794 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑂)
2619, 25opeq12d 4561 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
2714, 26eqtrd 2794 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
283, 9, 1dvhlmod 36901 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
29 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
303, 4, 6, 9, 29dvhelvbasei 36879 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
311, 5, 8, 30syl12anc 1475 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
32 dvh0g.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
3329, 11, 32lmod0vid 19097 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
3428, 31, 33syl2anc 696 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
3527, 34mpbid 222 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cop 4327  cmpt 4881   I cid 5173  cres 5268  ccom 5270  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  Scalarcsca 16146  0gc0g 16302  LModclmod 19065  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890  TEndoctendo 36542  DVecHcdvh 36869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-riotaBAD 34742
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-undef 7568  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-0g 16304  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lvec 19305  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949  df-tendo 36545  df-edring 36547  df-dvech 36870
This theorem is referenced by:  dvheveccl  36903  dib0  36955  dihmeetlem4preN  37097  dihmeetlem13N  37110  dihatlat  37125  dihpN  37127
  Copyright terms: Public domain W3C validator